As normas regulamentadoras de Engenharia Civil são disposições que tratam das obrigações, direitos e deveres a serem cumpridos por empregadores e trabalhadores com o objetivo de garantir um trabalho seguro e sadio, prevenindo a ocorrência de doenças e acidentes de trabalho. São normas que, em conjunto com as normas técnicas da ABNT, são indispensáveis na atividade de engenharia, que preza pela integridade dos colaboradores e qualidade do produto final .

O não cumprimento dessas normas, que são estabelecidas por lei, pode acarretar riscos aos trabalhadores, embargos nas construções e penalidades como multas, por exemplo. Diante disso, é necessário que o empregador/empresa/companhia e o trabalhador estejam cientes dessas normas. Dito isso, veremos abaixo as principais normas regulamentadoras na área da construção civil.

NR-4 – Serviços especializados em segurança e em medicina do trabalho

Essa norma estabelece os parâmetros e os requisitos para a constituição e manutenção dos Serviços Especializados em Segurança e Medicina do Trabalho – SESMT, com a finalidade de promover a saúde e proteger a integridade do trabalhador.

NR-5 – Comissão interna de prevenção de acidentes

Essa norma regulamentadora estabelece os parâmetros e os requisitos da Comissão Interna de Prevenção de Acidentes — CIPA — tendo por objetivo a prevenção de acidentes e doenças relacionadas ao trabalho, de modo a tornar compatível permanentemente o trabalho com a preservação da vida e promoção da saúde do trabalhador.

NR-6 – Equipamento de proteção individual

O objetivo desta norma regulamentadora é estabelecer os requisitos para aprovação, comercialização, fornecimento e utilização de Equipamentos de Proteção Individual – EPI. As disposições dessa NR se aplicam às organizações que adquiram EPI’s, aos trabalhadores que os utilizam, assim como aos fabricantes e importadores de EPI’s.

NR-7 – Programa de controle médico e de saúde ocupacional – PCMSO

Essa norma regulamentadora estabelece diretrizes e requisitos para o desenvolvimento do Programa de Controle Médico de Saúde Ocupacional – PCMSO nas organizações, com o objetivo de proteger e preservar a saúde de seus empregados em relação aos riscos ocupacionais, conforme avaliação de riscos do Programa de Gerenciamento de Risco – PGR da organização.

NR-8 – Edificações

Esta norma regulamentadora estabelece requisitos que devem ser atendidos nas edificações para garantir segurança e conforto aos trabalhadores. As medidas de prevenção estabelecidas nessa norma se aplicam às edificações onde se desenvolvam atividades laborais.

NR-10 – Segurança em instalações e serviços em eletricidade

Essa norma regulamentadora estabelece os requisitos e condições mínimas objetivando a implementação de medidas de controle e sistemas preventivos, de forma a garantir a segurança e a saúde dos trabalhadores que, direta ou indiretamente, interajam em instalações elétricas e serviços com eletricidade. Essa NR se aplica às fases de geração, transmissão, distribuição e consumo, incluindo as etapas de projeto, construção, montagem, operação, manutenção das instalações elétricas e quaisquer trabalhos realizados nas suas proximidades, observando-se as normas técnicas oficiais estabelecidas pelos órgãos competentes e, na ausência ou omissão destas, as normas internacionais cabíveis.

NR-11 – Transporte, movimentação, armazenagem e manuseio de materiais

A NR-11 estabelece os requisitos para operação de elevadores, guindastes, transportadores industriais e máquinas transportadoras.

NR-12 – Segurança no trabalho em máquinas e equipamentos

Essa norma regulamentadora e seus anexos definem referências técnicas, princípios fundamentais e medidas de proteção para resguardar a saúde e a integridade física dos trabalhadores e estabelece requisitos mínimos para a prevenção de acidentes e doenças do trabalho nas fases de projeto e de utilização de máquinas e equipamentos, e ainda à sua fabricação, importação, comercialização, exposição e cessão a qualquer título.

NR-15 – Atividades e operações insalubres

A NR-15 estabelece as atividades que devem ser consideradas insalubres, gerando direito ao adicional de insalubridade aos trabalhadores.

NR-16 – Atividades e operações perigosas

Essa norma trata das atividades e operações perigosas que constam nos anexos dessa Norma Regulamentadora.

NR-17 – Ergonomia

Essa norma regulamentadora visa estabelecer as diretrizes e os requisitos que permitam a adaptação das condições de trabalho às características psicofisiológicas dos trabalhadores, de modo a proporcionar conforto, segurança, saúde e desempenho eficiente no trabalho. As condições de trabalho incluem aspectos relacionados ao levantamento, transporte e descarga de materiais, ao mobiliário dos postos de trabalho, ao trabalho com máquinas, equipamentos e ferramentas manuais, às condições de conforto no ambiente de trabalho e à própria organização do trabalho.

NR-18 – Segurança e saúde no trabalho na indústria da construção

Essa norma regulamentadora tem o objetivo de estabelecer diretrizes de ordem administrativa, de planejamento e de organização, que visam à implementação de medidas de controle e sistemas preventivos de segurança nos processos, nas condições e no meio ambiente de trabalho na indústria da construção. Ela se aplica às atividades da indústria da construção e também às atividades e serviços de demolição, reparo, pintura, limpeza e manutenção de edifícios em geral e de manutenção de obras de urbanização.

NR-21 – Trabalhos a céu aberto

A NR-21 estabelece que nos trabalhos realizados a céu aberto é obrigatória a existência de abrigos, ainda que rústicos, capazes de proteger os trabalhadores contra intempéries. Serão exigidas medidas especiais que protejam os trabalhadores contra a insolação excessiva, o calor, o frio, a umidade e os ventos inconvenientes.

NR-23 – Proteção contra incêndios

Essa norma regulamentadora estabelece medidas de prevenção contra incêndios nos ambientes de trabalho.

NR-24 – Condições sanitárias e de conforto nos locais de trabalho

Essa norma estabelece as condições mínimas de higiene e de conforto a serem observadas pelas organizações, devendo o dimensionamento de todas as instalações regulamentadas por esta NR ter como base o número de trabalhadores usuários do turno com maior contingente.

NR-26 – Sinalização de segurança

Essa norma regulamentadora estabelece medidas quanto à sinalização e identificação de segurança a serem adotadas nos locais de trabalho. As medidas de prevenção estabelecidas nesta NR se aplicam aos estabelecimentos ou locais de trabalho.

NR-33 – Segurança e saúde nos trabalhos em espaços confinados

Essa norma regulamentadora tem como objetivo estabelecer os requisitos para a caracterização dos espaços  confinados, os critérios para o gerenciamento de riscos ocupacionais em espaços confinados e as medidas de prevenção, de forma a garantir a segurança e a saúde dos trabalhadores que interagem direta ou indiretamente com estes espaços.

NR-35 – Trabalho em altura

Essa norma estabelece os requisitos mínimos e as medidas de proteção para o trabalho em altura, envolvendo o planejamento, a organização e a execução, de forma a garantir a segurança e a saúde dos trabalhadores envolvidos direta ou indiretamente com esta atividade. Considera-se trabalho em altura toda atividade executada acima de 2,00 m (dois metros) do nível inferior, onde haja risco de queda.

Considerações finais sobre normas regulamentadoras

As principais normas regulamentadoras da construção civil visam garantir que as regras relativas à segurança do trabalho sejam cumpridas, evitando assim riscos aos trabalhadores e também obstáculos nas obras. Todas as normas regulamentadoras podem ser consultadas no site do Governo Federal.

O ano era 1901, iniciava-se o século XX e com ele as bases para o que viria a ser conhecido posteriormente como o Método dos Elementos Finitos. De um lado, a indústria aeroespacial em busca de resolver problemas estruturais complexos. Do outro, mas talvez em sintonia, acadêmicos de engenharia estrutural debruçados sobre a possibilidade de expandir os horizontes da análise matricial de estruturas. 

Assim, em torno da década de 50 o Método dos Elementos Finitos começou a ser utilizado na indústria, e em 1960 R.W. Clough de Berkley usou pela primeira vez o termo Finite Element em uma publicação. Não deixando o mérito apenas para Clough, a literatura, e particularmente os alemães, afirma que o professor J.H. Argyris (alemão) atuou ativamente nesse período no desenvolvimento do método.

Como se não fosse o bastante, matemáticos também buscam seu lugar ao sol nessa criação. Há evidências de que na década de 40 o grande matemático Courant já teria publicado um artigo onde ele resolveu um problema de vibrações utilizando elementos Finitos triangulares (sem nomeação do método). E não para por aí. Se formos mais fundo veremos os nomes Jhon William Strutt, Walther Ritz, Boris Galerkin, Hrennikoff, entre outros que contribuíram de alguma forma para o método desde o início do século XX.

Após essa introdução histórica com alta densidade de protagonistas, vamos caminhar cuidadosamente em direção ao entendimento do método sob a luz da matemática e da engenharia.

O que é o Método dos Elementos Finitos e qual a sua utilidade

À princípio, vou ser evasivo no que diz respeito à definição do Método dos Elementos Finitos e de suas aplicações. Dada a grandeza e generalidade do método, não vou me comprometer a limitá-lo a uma gama de problemas de engenharia atuais. As pesquisas podem revelar futuramente que ele é mais poderoso do que já temos considerado. Dessa forma, recorrendo à matemática, me sinto confortável apenas em defini-lo como um método aproximado de solução de equações diferenciais parciais através da minimização de funcionais.

Desculpe-me pela pretensão expressa no título deste tópico, mas vou ficar por aqui com a definição. Acredito fortemente que seja mais didático que você entenda por si só do que se trata o método e qual a sua utilidade através do desenvolvimento que será apresentado abaixo. Um pequeno alerta que faço, porém, é que aqui nos concentraremos em apenas apresentar uma introdução ao método. Portanto, ao final da leitura, saiba que o Método dos Elementos Finitos é/pode isso e muito mais.

Primeiros passos no Método dos elementos Finitos

Vamos iniciar com algo simples. Proponhamos solucionar uma equação diferencial unidirecional. Esse problema terá, além da equação, um domínio no qual ela é válida e valores para a função ou sua derivada no contorno do domínio, caracterizando, dessa forma, um problema clássico de valor de contorno unidimensional. Para aplicação do MEF (Método dos Elementos Finitos) ou FEM em inglês (Finite Element Method), não é necessário que o problema tenha solução analítica. Porém, para efeito de verificação dos resultados obtidos através do método, escolheremos um caso que possua solução analítica. Dito isso, abaixo segue a expressão que, em linguagem matemática, resume todo o texto desenvolvido até aqui neste tópico.

(1)  

Obs.: A ideia por trás dos termos essencial e natural das condições de contorno será revelada no decorrer da leitura.

O Método dos Elementos Finitos nos permitirá obter uma função que aproxima a função .  Abaixo serão apresentadas as etapas necessárias para isso.

Obtenção da formulação fraca do problema

A equação original (1) representa a formulação forte do problema. Essa formulação é caracterizada por equações de governo, normalmente diferenciais, e condições de contorno que exigem uma solução contínua (suave).  Em contraste, a formulação fraca, com o objetivo de simplificar o problema, faz concessões no que diz respeito à condição de continuidade da solução, possuindo exigências de continuidade mais fracas. Em suma, a formulação fraca de um problema é a forma integral equivalente de sua formulação forte. Obter a formulação fraca da equação (1) será o nosso desafio dessa etapa.

Utilizaremos o método dos resíduos ponderados para obter a forma fraca da nossa equação diferencial. Há outras possibilidades de se obter a forma fraca de equações diferenciais, porém, esse método é o mais genérico entre os seus pares.

Sem delongas, então, integremos a nossa equação “forte” ao longo de todo o seu domínio.

(2)  

Bom, temos agora o problema inicial na forma de uma integral. Mas é equivalente? Vamos analisar: a equação 1 exige que todo o termo dentro da integral acima valha zero ao longo de todo o domínio. Ao integrarmos esse termo e forçarmos o resultado zero não necessariamente garantimos que ele valerá zero ao longo de todo o domínio. Basta pensar numa equação hipotética h(x) com o seguinte gráfico:

Pela antissimetria do gráfico no intervalo fica óbvio que o fato de ser verdade que

(3)  

Não implica em em .

Então, para não abrirmos espaço em nossa formulação fraca para uma solução que apresente valores diferentes da formulação forte ao longo do domínio, temos que garantir que o integrante da equação 2 seja nulo ao longo de todo o domínio, assim como na equação 1. Fazer isso não é tão difícil. Basta multiplicar o integrando por uma função qualquer. Sendo uma função qualquer, para que a equação seja satisfeita, obrigatoriamente a outra parte do produto deve ser zero. Pronto: a condição da equação 1 foi preservada. Matematicamente, temos:

(4)  

Desvendando parcialmente o nome do método que estamos aplicando (resíduos ponderados), chamaremos de função de ponderação. Vamos, por conveniência, considerar essa função de ponderação pertencente à um espaço vetorial equivalente ao espaço vetorial da solução do problema. O efeito prático que usufruiremos dessa consideração é que as condições de contorno de serão as mesmas de .  Aqui vem uma importante observação para que o entendimento não se perca. A condição de contorno essencial só será introduzida na resolução do sistema de equações final, portanto, independente do seu valor, devemos considerá-la igual a zero (para este problema: ). Dito isto, vamos manipular a equação 4.

Primeiro, separando a soma em duas integrais temos:

(5)  

Segundo, aplicando a integração por partes na primeira integral, temos:

(6)  

Sabendo que , podemos abrir o termo da esquerda, o que resulta em:

(7)  

Repare que aparece aqui a condição de contorno da formulação forte do problema. O fato dela surgir naturalmente no desenvolvimento da forma fraca do problema concede a ela o nome que já conhecemos lá no início – condição de contorno natural. Podemos substituí-la na equação 7 por , bem como podemos substituir por , que (atenção!) será zero, pois o valor de fato () será considerado na equação final conforme já discutimos. Com isso, e reorganizando a equação, apresento a forma fraca do nosso problema.

(8)  

Aproximação por elementos finitos

Vamos agora subdividir o domínio do problema em elementos finitos e, consequentemente, pontos nodais.

Então, a solução do problema por elementos finitos consiste em se obter coeficiente constantes () para cada um dos nós resultantes da discretização do domínio e, posteriormente, interpolá-los ao longo de todo o domínio utilizando funções de interpolação ().

Matematicamente, a aproximação final para fica da seguinte forma:

(9)  

A função de interpolação deverá ser escolhida, e os coeficientes constantes serão obtidos como solução do problema em sua forma fraca (8). Veremos a parte de obtenção dos coeficientes mais adiante. Por agora, nos concentremos em entender as tão importantes funções de interpolação.

Definição das funções de interpolação

Expandindo a equação 9, temos a seguinte expressão:

(10)  

Essa expressão “aberta” nos ajudará na análise que se seguirá. Observando o gráfico da figura acima vemos que no nó a função de aproximação é igual à constante associada àquele nó.

(11)  

Note que para isso ocorrer é necessário que

(12)  

Em palavras significa dizer que a função de interpolação do nó () valerá 1 no nó e zero nos demais nós. Simples, não? Vejamos um exemplo: a função de interpolação linear para o nó 2.

Em diversas aplicações do Método dos Elementos Finitos são utilizadas funções de interpolação lineares. Portanto, nos limitaremos a elas neste artigo. As equações que reproduzem o que está exemplificado na imagem acima estão apresentadas abaixo.

(13)  

(14)  

Aplicando a ideia central do Método dos Elementos Finitos

Vamos agora desvendar por completo o método dos resíduos ponderados introduzido anteriormente. Já entendemos a ponderação, basta agora compreender a ideia de resíduo. Temos discorrido bastante sobre a função que se propõe a aproximar a solução do nosso problema. Vamos agora usá-la na formulação forte do problema (Equação 1). Considerando que ela não é exatamente a função (digo considerando, pois em alguns casos a solução aproximada pode ser igual  à solução exata), no lado direito da equação surgirá um valor diferente de zero. Esse valor, representado por , é chamado de resíduo. Temos a seguinte equação então:

(15)  

Vamos agora exigir que esse erro seja zero. Mas não na formulação forte (senão caímos no mesmo problema inicial), e sim na formulação fraca. Então, relembrando o que desenvolvemos no tópico onde discorremos sobre a obtenção da formulação fraca, teríamos:

(16)  

Que pode ser escrita em termos da função de aproximação simplesmente trocando pelo lado esquerdo da equação 15.

(17)  

E, por analogia com o que já foi visto, sabemos que se desenvolvermos essa equação chagaremos na forma fraca apresentada abaixo.

(18)  

Já definimos também que pode ser aproximado por:

(19)  

Falta-nos agora definir a função qualquer para prosseguirmos com o desenvolvimento do problema. Seguindo o mesmo princípio utilizado para a função objetivo (), vamos utilizar uma aproximação para a função peso. Além disso, nos apropriando de um método largamente conhecido criado por Galerkin, e nomeado com seu próprio nome (Método de Galerkin), vamos fazer a aproximação da função peso com as mesmas funções de interpolação utilizadas para aproximar a função . Dessa forma, temos:

(20)  

Enfim, podemos aplicar essas aproximações para e na formulação fraca e prosseguir o desenvolvimento da solução aproximada com elementos finitos.

Formulação discreta do problema

Com o esforço aplicado até aqui, temos a nossa proposta de solução do problema no seguinte estágio:

(21)  

Onde

(22)  

Injetando as equações das aproximações dentro da formulação fraca (21), vem:

(23)  

Focando primeiro no lado esquerdo da equação acima, aplicaremos a seguinte sequência de manipulação:

• Lançando mão da propriedade da derivada que diz que a derivada da soma é igual a soma das derivadas, o operador de derivada pode ser transportado para dentro do somatório.

(24)  

• Recordando que os coeficientes e são constantes, eles podem sair da derivada.

(25)  

• Pelo mesmo motivo anterior, os coeficientes podem ainda ser enviados para fora da integral. Nesse caso, os somatórios devem ir juntos. E isso pode ser realizado sem problemas, pois há a propriedade das integrais que garante que a integral da soma é igual a soma das integrais.

(26)  

Vamos agora ao lado direito da equação. Além de ser mais simples, com a experiência obtida na manipulação do termo do lado esquerdo da equação, sinto adequado apresentar diretamente o resultado final, evitando ser prolixo.

(27)  

No geral, então, temos até o momento:

(28)  

Sinto necessidade nesse momento de recordá-lo de que estamos buscando pelos valores dos coeficientes (que são as aproximações para nos nós) para, então, obtermos a aproximação por elementos finitos fazendo . Devo lembrá-lo também de que e são as funções de interpolação que nós devemos escolher, logo não são incógnitas. e são dados do problema e são coeficientes de ponderação arbitrários. Em resumo, as incógnitas do problema acima são os coeficientes . Com isso esclarecido, simplificaremos a representação dos termos que não são incógnitas que se encontram dentro dos parênteses substituindo-os pelas letras e .

(29)  

Bem melhor, não acha? Repare que o recebe tanto o índice quanto o índice dado que o termo que ele representa depende dos dois índices. Vamos agora “abrir” esses somatórios. Pelo motivo que será desvendado mais adiante, farei isso em um formato especial como segue.

(30)  

Subtraindo os termos que se encontram no lado direito em toda a equação e colocando os coeficientes em evidência, temos:

(31)  

A solução trivial onde todos os coeficientes são nulos não nos interessa, pois permitiria qualquer solução para o problema. Então, necessariamente os termos entre os parênteses devem ser nulos. Com isso, temos o seguinte sistema de equações.

(32)  

Em resumo, o sistema final de equações do Método de Elementos Finitos para o problema será:

(33)  

Onde

(34)  

Temos equações para incógnitas. Mas essas equações são linearmente independentes? A resposta é: nem todas. No caso desse problema duas das equações são LD entre si. Mas não há motivo para preocupação, pois na verdade não temos incógnitas e sim . O valor do coeficiente em é igual a . Essa é a condição de contorno essencial do nosso problema (aliás, por isso que ela recebe esse nome). Com o número de incógnitas reduzido em 1, é aceitável que duas das equações sejam LD entre si sem prejuízo à resolução do sistema.

Vamos agora pôr em prática toda essa teoria aprendida.

Resolução de uma equação diferencial utilizando o Método dos Elementos Finitos

Vamos resolver a seguinte equação diferencial:

(35)  

Obtenção da forma fraca do problema

Como essa equação é similar à equação geral que foi utilizada nos tópicos anteriores, podemos obter a forma fraca do problema simplesmente substituindo , e da equação 8 pelos valores deste problema.

(36)  

Discretização do domínio em elementos finitos

O domínio, nesse caso linear, será dividido em 3 elementos finitos. Isso resultará em 4 nós, enumerados conforme a figura a seguir.

Definição das funções de interpolação

Para cada um dos nós teremos uma função de interpolação. Elas serão, por escolha, lineares. Abaixo estão apresentadas as equações de interpolação de cada nó e as respectivas representações gráficas delas.

(37)  

(38)  

(39)  

(40)  

Repare que seguimos fielmente a regra das funções de interpolação: ter valor 1 no nó ao qual ela diz respeito e valer 0 nos demais nós.

Montagem do sistema algébrico de elementos finitos

Construiremos o sistema algébrico para este problema conforme a Equação 33 já apresentada. Para isso, é necessário calcular os valores de e . Como o problema que estamos resolvendo é similar ao problema considerado no desenvolvimento teórico, esses valores podem ser obtidos pelas expressões da Equação 34, substituindo apenas os valores de e . Temos, então, a seguinte sequência de cálculos:

(41)  

(42)  

(43)  

(44)  

(45)  

(46)  

(47)  

(48)  

(49)  

(50)  

(51)  

(52)  

(53)  

(54)  

(55)  

(56)  

(57)  

(58)  

(59)  

(60)  

Nesse momento preciso destacar duas características dos coeficientes que podem ser extraídas dessa sequência árdua de cálculo de integrais presenciada acima.

1. O valor de sempre será zero se os nós e não estiverem conectados por um elemento finito comum; e
2. Os valores são simétricos, isto é, .

Saber isso anteriormente nos teria poupado algumas integrações. Mas assim é melhor, pois o leitor pôde visualizar essas duas afirmações sendo validadas.

Vamos agora calcular os valores de .

(61)  

(62)  

(63)  

(64)  

Assim, já podemos montar o sistema de equações de elementos finitos.

(65)  

Que, em formato matricial, se apresenta da seguinte forma:

(66)  

Resolução do sistema de equações de elementos finitos

Se tentarmos resolver o sistema de equações final que obtivemos para o nosso exemplo não teremos êxito, pois o sistema obtido não tem solução. Precisamos utilizar a condição de contorno essencial () para reduzir o número de incógnitas. O sistema então passa a ser:

(67)  

Que pode ser simplificado para:

(68)  

Resolvendo-o, temos o seguinte resultado:

(69)  

Pronto! Agora sabemos os valores da função nos nós resultantes da discretização em elementos finitos que fizemos no domínio do problema. Vamos agora gerar a função de aproximação .

Função de aproximação de elementos finitos

Lembrando o que já foi visto, a função de aproximação se apresenta da seguinte forma:

(70)  

No problema em questão será, então:

(71)  

Substituindo as funções de aproximação que foram definidas para o problema, tem-se por fim:

(72)  

Sabendo que a solução exata para esse problema é a equação

(73)  

Podemos plotar o gráfico da curva da aproximação de elementos finitos sobre o gráfico da curva exata. Fazendo isso obtemos:

Acho que, observando o gráfico acima, o leitor há de concordar que conseguimos aproximar a solução do problema utilizando o Método dos Elementos Finitos. E se usássemos funções de interpolação quadráticas, como seria o resultado? Como a solução exata desse problema é quadrática, a resposta é que encontraremos exatamente a solução do problema. Com essa observação final, fecho esse primeiro exemplo de aplicação do método de elementos finitos.

Resolução do problema da barra carregada axialmente utilizando o Método dos Elementos Finitos

Vamos agora a um exemplo específico de engenharia: obter os deslocamentos ao longo de uma barra carregada axialmente utilizando elementos finitos. Seguindo a notação que vem sendo utilizada, a incógnita do problema (campo de deslocamento), será chamada de .

Entrando em mais detalhes, o problema consiste em uma barra de comprimento com geometria de seção constante ao longo do comprimento. Ela está engastada em uma extremidade e livre na outra e possui um carregamento distribuído ao longo do comprimento e outro pontual na extremidade livre, ambos na direção axial da barra. O esquema abaixo ilustra o problema.

Vamos às etapas do método de elementos finitos. Diferentemente do caso anterior, aqui iniciaremos um passo atrás. Desenvolveremos a formulação forte do problema.

Desenvolvimento da formulação forte do problema

Consideremos um elemento infinitesimal de comprimento da barra. Atuará nele a força externa e as forças internas () em cada uma de suas extremidades.

Para que o elemento infinitesimal esteja em equilíbrio, é necessário que a soma de todas as forças atuando sobre ele seja igual a zero. Assim,

(74)  

Dividindo todos os termos por , temos:

(75)  

Fazendo o limite quando tende a zero, teremos o primeiro termo do lado esquerdo como sendo a própria definição de derivada e no segundo termo a parcela poderá ser desprezada. Disso resulta:

(76)  

Agora vamos definir o , a força interna. Sabe-se pela Lei de Hooke que

(77)  

E, por definição, para o elemento infinitesimal

(78)  

Analogamente ao caso anterior, fazendo o limite quando tende a zero, teremos

(79)  

Substituindo então na equação 77, obtemos:

(80)  

Levando esse resultado para a equação 76, obtemos, por fim, a equação “forte” que modela o nosso problema.

(81)  

Para finalizar esse tópico ainda é necessário definir as condições de contorno do problema. Como em a barra está engastada, é fácil concluir que o deslocamento nesse ponto será zero. Além disso, também é possível notar que em a força interna na barra () será igual a força aplicada na extremidade da barra. Assim, podemos intuir diretamente as seguintes condições de contorno:

(82)  

Feito! Vamos agora obter a forma fraca.

Obtenção da forma fraca do problema

Se o leitor é atento, vai perceber que a forma forte do problema da barra é análoga à forma forte do problema anterior. Com isso, por semelhança, já posso escrever direto que a forma fraca desse problema será:

(83)  

Discretização do domínio em elementos finitos

O domínio será dividido em 3 elementos finitos, conforme no problema anterior. Para agilizar o processo vamos considerar o comprimento da barra como sendo 1m. Dessa forma, a discretização do domínio recairá exatamente na discretização do exemplo anterior. Como vamos considerar funções de interpolação lineares nesse exemplo, poderemos reutilizar as funções de interpolação calculadas no exemplo anterior. Como o domínio () e a discretização (3 elementos finitos de tamanhos iguais) para os dois exemplos são semelhantes, as funções de interpolação lineares também serão iguais. Dessa forma, vamos direto à montagem do sistema de equações de elementos finitos.

Montagem do sistema algébrico de elementos finitos

Por similaridade com o exemplo anterior, as equações de elementos finitos para se definir os valores de e de são as apresentadas abaixo.

(84)  

Para obter os valores de vamos adotar igual a e igual a . Com isso, o produto será igual a . Como esse fator é o único elemento que difere do exemplo anterior, para obter a matriz deste problema, basta então aplicar esse fator à matriz do exemplo anterior. Dessa forma, temos que:

(85)  

Para calcular os valores de vamos assumir que vale e que . Dessa forma, seguem os cálculos:

(86)  

(87)  

(88)  

(89)  

Assim, juntando as partes, temos o sistema de equação para o problema de elementos finitos:

(90)  

Resolução do sistema de equações de elementos finitos

O primeiro passo aqui consiste em reduzir o sistema de equações utilizando a condição de contorno essencial – . Fazendo isso, temos:

(91)  

Que pode ser simplificado para:

(92)  

Resolvendo-o, temos o seguinte resultado:

(93)  

Vamos agora gerar a função de aproximação por elementos finitos .

Função de aproximação de elementos finitos

A função de aproximação por elementos finitos desse problema será da seguinte forma:

(94)  

Substituindo as funções de aproximação que foram definidas para o problema, tem-se por fim:

(95)  

A solução exata para esse problema é a equação apresentada abaixo:

(96)  

Se plotássemos os gráficos da função e de sua aproximação teríamos um resultado semelhante ao do exemplo anterior.

Pronto, mais um exemplo de aplicação do Método dos Elementos Finitos concluído.

Livro sobre elementos finitos

Há muitas referências de qualidade para se estudar o método dos Elementos Finitos. Dentre elas, indico o livro em língua portuguesa do Dr. Fernando Luiz B. Ribeiro, professor da disciplina de Elementos Finitos da UFRJ por décadas. Esse livro traz teoria e prática numa dosagem didaticamente confortável. Ele pode ser obtido na loja virtual da Amazon através do seguinte endereço: introdução ao Método dos Elementos Finitos.

Considerações finais sobre o Método dos Elementos Finitos

Apesar de termos atualmente uma gama de softwares especializados em análises numéricas envolvendo o Método dos Elementos Finitos, é imprescindível ter pelo menos os conhecimentos básicos do método para tomar decisões assertivas na etapa de modelagem e discretização do modelo e na etapa final de crítica aos resultados encontrados. Finalizo enfatizando dramaticamente: software de elementos finitos na mão de desconhecedores do método, apesar de toda a robustez que possa ter, será uma caixa preta que receberá números como input e devolverá números como output.

A Engenharia Civil, assim como as demais engenharias e profissões, utiliza-se de regras e definições estabelecidas por comissões de estudo entre os profissionais especialistas de cada área, tais como produtores, consumidores e neutros (universidades, laboratórios e outros). Ao se reunirem, esses profissionais elaboram o que conhecemos como normas técnicas. No Brasil, o órgão responsável pela normalização técnica é a Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT). Ela é uma entidade privada sem fins lucrativos e de utilidade pública. Assim, serão apresentadas abaixo as principais normas de engenharia utilizadas por Engenheiros Civis no exercício de suas funções. Não deixe de conferir também as regras e instruções relativas à segurança do trabalho nesse outro artigo: Normas Regulamentadoras (NR).

Normas de estrutura

As normas de engenharia de estrutura apresentam recomendações quanto ao dimensionamento, execução e controle de estruturas civis.

ABNT NBR 6122:2019 –  Projeto e execução de fundações

Essa norma especifica os requisitos a serem observados no projeto e execução de fundações de todas as estruturas da engenharia civil. Os critérios presentes nessa norma visam garantir o equilíbrio entre condicionantes técnicos, econômicos e de segurança.

ABNT NBR 6118:2014 – Projeto de estruturas de concreto

Essa norma estabelece os requisitos que são exigidos para projetos de estrutura de concreto simples, armado e protendido, excetuando-se os concretos leves, pesados e especiais. A norma estabelece os requisitos gerais a serem atendidos pelo projeto como um todo, bem como os requisitos específicos relativos a cada uma de suas etapas.

No caso de estruturas especiais, como de elementos pré-moldados, pontes e viadutos, obras hidráulicas, arcos, silos, chaminés, torres, estruturas off-shore, ou estruturas que utilizam técnicas construtivas não convencionais, como formas deslizantes, balanços sucessivos, lançamentos progressivos e concreto projetado, as condições dessa norma ainda são aplicáveis, mas devem ser complementadas e ajustadas, se necessário, em pontos localizados por outras Normas Brasileiras específicas.

ABNT NBR 9062:2017 – Projeto e execução de estruturas de concreto pré-moldado

Essa norma estabelece os requisitos para o projeto, a execução e o controle de estruturas de concreto pré-moldado, armado ou protendido e também é aplicável a estruturas mistas ou compostas. Ela estabelece diretrizes para o projeto e a execução de estruturas pré-moldadas de edifícios, mas pode ser usada, quando necessário, no projeto e na execução de estruturas para fundações, obras viárias e demais elementos de utilização isolada.

ABNT NBR 14931:2004 – Execução de estruturas de concreto

Essa norma define requisitos detalhados para a execução de obras de concreto, cujos projetos foram elaborados de acordo com a ABNT NBR 6118. Ela se aplica a estruturas de concreto permanentes ou temporárias e à execução de fundação superficial, sapata, “radier”, sapata associada, blocos e vigas de fundação. A norma não cobre os requisitos para a execução de certos elementos de fundações profundas.

ABNT NBR 8800:2008 – Projeto de estruturas de aço e de estruturas mistas de aço e concreto de edifícios

Essa norma, com base no método dos estados-limites, estabelece os requisitos básicos que devem ser obedecidos no projeto de estruturas de aço e de estruturas mistas de aço e concreto de edificações à temperatura ambiente. Ela é aplicável somente para perfis de aço não-híbridos. Os princípios dessa norma são aplicáveis às estruturas de edifícios destinados a habitação, de edifícios de usos comercial e industrial e de edifícios públicos. Aplicam-se também às estruturas de passarelas de pedestres e a suportes de equipamentos.

É necessário que a execução da estrutura, nos aspectos que não foram prescritos nessa norma, seja feita, na ausência de Norma Brasileira aplicável, de acordo com o AISC 303. Para situações ou soluções construtivas não cobertas por essa norma, o responsável técnico pelo projeto deve usar um procedimento aceito pela comunidade técnico-científica, acompanhado de estudos para manter o nível de segurança previsto por esta.

ABNT NBR 14762:2010 – Dimensionamento de estruturas de aço constituídas por perfis formados a frio

Essa norma estabelece os requisitos básicos que devem ser obedecidos no dimensionamento, à temperatura ambiente, de perfis estruturais de aço formados a frio, constituídos por chapas ou tiras de aço-carbono ou aço de baixa liga, conectados por parafusos ou soldas e destinados a estruturas de edifícios. Ela também pode ser utilizada para o dimensionamento de outras estruturas, além de edifícios, desde que sejam consideradas as particularidades de cada tipo de estrutura, por exemplo, os efeitos de ações dinâmicas.

ABNT NBR 6355:2012 – Perfis estruturais de aço formados a frio

Essa norma estabelece os requisitos exigíveis dos perfis estruturais de aço formados a frio, com seção transversal aberta. Além disso, apresenta tabelas contendo as propriedades de seções comerciais de perfis formados a frio.

ABNT NBR 6136 – Blocos vazados de concreto simples para alvenaria

Essa norma estabelece os requisitos para o recebimento de blocos vazados de concreto simples, destinados à execução de alvenaria com ou sem função estrutural.

ABNT NBR 16868 – Alvenaria estrutural

• Alvenaria estrutural – Parte 1: Projeto

Essa parte da norma estabelece os requisitos para o projeto de estruturas de alvenaria. Essa norma também se aplica à análise do desempenho estrutural de elementos de alvenaria inseridos em outros sistemas estruturais. Ela só é aplicável à alvenaria de blocos e tijolos cerâmicos e de blocos de concreto.

• Alvenaria estrutural – Parte 2: Execução e controle de obras

Essa parte da ABNT NBR 16868 estabelece os requisitos para execução e controle de obras de alvenaria estrutural.

• Alvenaria estrutural – Parte 3: Métodos de ensaio

Essa parte da norma estabelece os métodos de ensaio de elementos em alvenaria construídos com blocos e tijolos cerâmicos e de concreto (prisma, pequena parede e parede), submetidos a esforços de compressão axial, cisalhamento, flexão e flexo-compressão.

ABNT NBR 7190:1997 – Projeto de estruturas de madeira

A norma em questão fixa as condições que devem ser seguidas no projeto, na execução e no controle das estruturas de madeira como pontes, pontilhões, coberturas, pisos e cimbres.

Normas de ações sobre as estruturas

Parte importante do dimensionamento estrutural consiste na definição dos carregamentos atuantes sobre a estrutura, sejam eles estáticos ou até mesmo dinâmicos. As normas de ações sobre as estruturas têm por objetivo recomendar a maneira adequada de se considerar esses carregamentos, trazendo também valores típicos para certos tipos de carregamentos comuns.

ABNT NBR 6123 – Forças devidas ao vento em edificações

Essa norma estabelece as condições exigíveis na consideração das forças devidas à ação estática e dinâmica do vento para efeitos de cálculo de edificações.

ABNT NBR 6120 – Ações para o cálculo de estruturas de edificações

A norma estabelece as ações mínimas a serem consideradas no projeto de estruturas de edificações, qualquer que seja sua classe e destino.

Normas de solo

Nesse item são apresentadas as normas de engenharia pertinentes ao trabalho técnico de engenharia envolvendo o solo e suas propriedades.

ABNT NBR 8044 – Projeto geotécnico

Essa norma estabelece os procedimentos a serem observados nos estudos e projetos geotécnicos.

ABNT NBR 9061:1985 – Segurança de escavação a céu aberto

Essa norma fixa as condições de segurança exigíveis a serem observadas na elaboração do projeto e execução de escavações de obras civis, a céu aberto, em solos e rochas, excluídas as escavações para mineração e túneis.

ABNT NBR 6489:2019 – Solo — Prova de carga estática em fundação direta

A norma especifica um método de ensaio para prova de carga estática para fins de fundações diretas, compreendendo os requisitos para execução, registro e apresentação.

ANBT NBR 12131:2020 – Solo — Prova de carga estática em fundação profunda

A norma especifica o método de ensaio para prova de carga estática em fundações profundas. Ela se aplica a todos os tipos de estacas, verticais ou inclinadas, independentemente do processo de execução e de instalação no terreno, inclusive tubulões. Também se aplica às provas de carga que utilizam o critério de cargas controladas.

ANBT NBR 13208:2007 – Estacas — Ensaio de carregamento dinâmico

Essa norma especifica um método de ensaio para carregamento dinâmico em elementos de fundações profundas (estacas em geral), com análise fundamentada na teoria da equação da onda unidimensional. Ela aplica-se às estacas verticais ou inclinadas, independentemente do processo de execução ou de instalação no terreno. O ensaio de carregamento dinâmico visa à avaliação de cargas mobilizadas na interface solo-estaca, eficiência do sistema de impacto, tensões de compressão e de tração ao longo da estaca, integridade estrutural e características dinâmicas do sistema solo-estaca.

ABNT NBR 6502:1995 – Rochas e solos

Essa norma define os termos relativos aos materiais da crosta terrestre, rochas e solos para fins de engenharia geotécnica de fundações e obras de terra.

ABNT NBR 6484:2020 – Solo — Sondagem de simples reconhecimento com SPT

A norma especifica o método de execução de sondagens de simples reconhecimento de solos com ensaio de SPT. São descritos dois sistemas de execução: sistema de sondagem manual e sistema de sondagem mecanizado. Eles fornecem as seguintes informações: tipos de solos e suas respectivas profundidades de ocorrência; indicação da posição do nível de água (quando ocorrer) durante a execução de cada sondagem e o índice de resistência à penetração N a cada metro.

ABNT NBR 10905:1989 – Solo — Ensaios de palheta in situ

Essa norma prescreve o método para a determinação da resistência não drenada (C) do solo in situ, através de uma palheta de seção cruciforme nele inserida e submetida a um torque capaz de cisalhá-lo por rotação. Ela se aplica a solos argilosos moles a rijos, saturados, permitindo determinar-lhes a resistência em condições de drenagem impedida. O conhecimento da natureza do solo ensaiado é necessário para avaliar a aplicabilidade do ensaio e interpretar adequadamente os resultados.

Norma de desempenho – Edificações habitacionais

As edificações habitacionais, para efeito de redução de patologias e controle de qualidade, durante o projeto e a construção são submetidas a requisitos normativos relativos ao desempenho da edificação. A seguir será apresentada a norma e os seus principais requisitos.

ABNT NBR 15575 – Edificações habitacionais

Essa norma de engenharia é dividida em 5 partes:

• Requisitos gerais;
• Requisitos para os sistemas estruturais;
• Requisitos para os sistemas de pisos;
• Requisitos para os sistemas de vedações verticais internas e externas — SVVIE e
• Requisitos para os sistemas de coberturas.

Para todas essas 5 partes, a norma estabelece os requisitos e critérios relativos ao desempenho térmico, acústico, lumínico e de segurança ao fogo, que devem ser atendidos individual e isoladamente pela própria natureza conflitante dos critérios de medições, por exemplo, desempenho acústico (janela fechada) versus desempenho de ventilação (janela aberta). A norma é utilizada como um procedimento de avaliação do desempenho de sistemas construtivos. Ela não é aplicável a obras já concluídas, obras de reformas, retroft de edifícios e edificações provisórias.

Normas de instalação predial

Este item traz as normas de engenharia que estabelecem as condições a que devem satisfazer as instalações prediais.

ABNT NBR 5410:2004 – Instalações elétricas de baixa tensão

Essa norma estabelece as condições a que devem satisfazer as instalações elétricas de baixa tensão para garantir a segurança de pessoas e animais, o funcionamento adequado da instalação e a conservação dos bens. Ela aplica-se principalmente às instalações elétricas de edificações, qualquer que seja seu uso (residencial, comercial, público, industrial, de serviços, agropecuário, hortigranjeiro, etc.), incluindo as pré-fabricadas.

Ela também aplica-se às instalações novas e a reformas em instalações existentes, mas não é aplicável a instalações de tração elétrica, instalações elétricas de veículos automotores, instalações elétricas de embarcações e aeronaves, equipamentos para supressão de perturbações radioelétricas, na medida em que não comprometam a segurança das instalações, instalações de iluminação pública, redes públicas de distribuição de energia elétrica, instalações de proteção contra quedas diretas de raios, instalações em minas e instalações de cercas eletrificadas.

ABNT NBR 5626:2020 – Sistemas prediais de água fria e água quente

A norma especifica os requisitos para projeto, execução, operação e manutenção de sistemas prediais de água fria e água quente, somente abrangendo os sistemas que possuem água potável e em qualquer tipo de edifício.

ABNT NBR 5688:2018 – Tubos e conexões de PVC-U para sistemas prediais de água pluvial, esgoto sanitário e ventilação

Essa norma especifica os requisitos para os tubos e conexões de PVC-U – série normal, com juntas soldáveis ou soldáveis/elásticas, a serem empregados em sistemas prediais de esgoto sanitário e ventilação, que funcionam pela ação da gravidade, com vazão livre e classe de temperatura CT 45 °C.

Ela traz também os requisitos para os tubos e conexões de PVC-U – série reforçada, com juntas soldáveis/elásticas, a serem empregados em sistemas prediais de água pluvial (AP), esgoto sanitário e ventilação, com vazão livre e classe de temperatura CT 75 °C e os requisitos do composto de poli(cloreto de vinila) (PVC) para a fabricação de tubos e conexões de PVC utilizados nos sistemas de esgoto sanitário, de ventilação e água pluvial.

ABNT NBR 8130:2004 – Aquecedor de água a gás tipo instantâneo – Requisitos e métodos de ensaio

A norma especifica as características mínimas exigíveis, prescreve as condições de ensaio e a metodologia utilizada para aquecedores de água tipo instantâneo nos quais são utilizados combustíveis gasosos.

ABNT NBR 8160: 1997 – Sistemas prediais de esgoto sanitário

Essa norma estabelece as exigências e recomendações para projeto, execução, ensaio e manutenção dos sistemas prediais de esgoto sanitário, a fim de atenderem às exigências mínimas quanto à higiene, segurança e conforto dos usuários, tendo em vista a qualidade destes sistemas. Ela não é aplicável aos sistemas de esgoto industrial.

ABNT NBR 10844 – Instalações prediais de águas pluviais

A norma fixa exigências e critérios necessários aos projetos das instalações de drenagem de águas pluviais, visando garantir níveis aceitáveis de funcionalidade, segurança, higiene, conforto, durabilidade e economia.
Ela aplica-se à drenagem de águas pluviais em coberturas e demais áreas associadas ao edifício, tais como terraços, pátios, quintais e similares. A norma não é aplicável em casos onde as vazões de projeto e as características da área exijam a utilização de bocas-de-lobo e galerias.

ABNT NBR 13523:2019 – Central de gás liquefeito de petróleo — GLP

Essa norma estabelece os requisitos mínimos para projeto, montagem, alteração, localização e segurança das centrais de gás liquefeito de petróleo (GLP), para instalações comerciais, residenciais, industriais e de abastecimento de empilhadeiras ou equipamentos industriais de limpeza. Os requisitos aqui previstos não se aplicam às instalações que já existiam ou tiveram sua construção, instalação e ampliação aprovadas e executadas anteriormente à data de publicação dessa norma.

ABNT NBR 13714:1998 – Sistemas de hidrantes e de mangotinhos para combate a incêndio

A norma fixa as condições mínimas exigíveis para dimensionamento, instalação, manutenção, aceitação e manuseio, bem como as características, dos componentes de sistemas de hidrantes e de mangotinhos para uso exclusivo de combate a incêndio. Ela não é aplicável a indústrias petroquímicas, refinarias de petróleo, terminais e bases de distribuição de derivados de petróleo e instalações de armazenagem de líquidos e gases combustíveis e inflamáveis que disponham de normas brasileiras específicas, tais como: postos de serviços, aeroportos, entre outros.

ABNT NBR 15523:2012 – Redes de distribuição interna para gases combustíveis em instalações residenciais

A norma estabelece os requisitos mínimos exigíveis para o projeto e a execução de redes de distribuição interna para gases combustíveis em instalações residenciais que não excedam a pressão de operação de 150 kPa (1,53 kgf/cm2) e que possam ser abastecidas tanto por canalização de rua como por uma central de gás, sendo o gás conduzido até os pontos de utilização através de um sistema de tubulações.

Considerações finais sobre as normas de engenharia

As normas de engenharia são ferramentas imprescindíveis para os engenheiros. Através da elaboração de projetos e execução de serviços dentro do que é preconizado nas normas técnicas, consolida-se uma engenharia segura e que entrega muita qualidade para os clientes. As normas de engenharia brasileiras podem ser compradas no site da ABNT ou no site da Target. Este último, utilizando-se de meios legais, comercializa a norma a um preço mais competitivo.

Uma carreira promissora depende de vários fatores, e um desses fatores é saber um outro idioma. Entre os idiomas mais falados no mundo está o inglês, que ocupa o 1° lugar. Dominar essa língua faz com que o graduando em engenharia possa ter acesso a materiais e cursos em inglês e, para os formados, traz uma maior capacitação para o mercado de trabalho da engenharia, que se encontra em crescente globalização. Na sequência serão apresentadas estatísticas sobre o idioma, motivações para você incluir o inglês na sua lista de skills e algumas dicas interessantes para te ajudar na tarefa de aprendê-lo.

Domínio do inglês no Brasil

Em relação à população brasileira no geral, os dados apontam que apenas 5% da população brasileira fala o inglês fluentemente. Em relação aos outros níveis do idioma, um estudo feito pelo grupo Talenses, uma empresa de recrutamento e seleção, mostra que o percentual continua baixo (saiba mais). O estudo aponta que, de 1.423 entrevistados, não chegam a 10% aqueles que têm nível intermediário e avançado. Ainda há aqueles que mentem no currículo dizendo falar a língua, mas têm somente o nível básico e também aqueles que estão no nível do conhecimento técnico, ou seja, entendem somente algumas palavras ou termos técnicos que dizem respeito a sua área de atuação.

Motivos para aprender inglês

O inglês nos currículos já deixou de ser apenas desejável, hoje é primordial, é praticamente obrigatório saber a língua inglesa. Para aqueles que ainda são alunos de graduação, a língua inglesa está presente em muitos materiais de estudo, como nos artigos científicos e também em alguns livros. Desse modo, aprender o idioma ainda na graduação ajuda no desenvolvimento do aprendizado do aluno.

Para aqueles que já estão iniciando uma carreira, a cobrança pela fluência no idioma é maior. Isso porque, com o crescimento da globalização dos negócios de engenharia e tecnologia, o profissional muitas vezes precisa interagir com pessoas de outras regiões do mundo em seu trabalho; criar documentos técnicos em linguagem internacional (inglês) por exigência do cliente, mesmo do Brasil; consultar normas e guias americanas e/ou europeias; consultar referências estrangeiras de projetos (cases), entre muitas outras situações que podem exigir do profissional o domínio do inglês ou, caso não exijam, ser vistas como uma oportunidade de se destacar no exercício de sua função, o que certamente aumentará as chances de sucesso na carreira.

E uma outra vantagem para o profissional que apresenta fluência no idioma é o salário. Uma pesquisa feita pela Catho, site de classificados de empregos, revela que o salário para quem é fluente pode ser até 52% maior do que para aqueles que não dominam a língua.

Onde aprender o inglês?

Há muitos lugares por onde é possível aprender o idioma. Entre eles estão os aplicativos de aprendizado, sites que oferecem cursos (alguns gratuitos) e escolas de idiomas que garantem fluência no idioma. Mas é importante estar atento e saber se os cursos são reconhecidos, certificados. Os aplicativos para aprender idiomas são de grande utilidade para o aprendizado, pois são interativos e divertidos. Como exemplo, apresentamos o Duolingo e o Youllt.

Duolingo

O Duolingo é um aplicativo utilizado para o aprendizado de idiomas que utiliza o formato de gamificação. Nas versões web e mobile, ele possui mais de 500 milhões de usuários.

YOULLT

O YOULLT (Your Learning Language Tube) é um aplicativo web para o aprendizado de diversos idiomas. Nele é possível pesquisar por vídeos do Youtube e treinar com eles o listening (ouvido), o writing (escrita) e o speaking (fala) por meio da dinâmica de tentar escrever/falar corretamente o que está sendo dito no vídeo. No vídeo abaixo contém a apresentação da ferramenta.

Como comprovar a proficiência no inglês?

Se o profissional ou estudante desejar comprovar sua fluência no idioma, seja para ter uma experiência internacional ou para exigências de empresas, deverá avaliar sua fluência no idioma através de testes de proficiência. O site Guia do Estudante ( saiba mais) apresenta dois testes mais comuns para universitários provarem a proficiência, são o Toefl (Test of English as a Foreign Language, ou Teste de Inglês como Língua Estrangeira, em tradução livre) e o Ielts (International English Language Testing System, ou Sistema Internacional de Teste de Língua Inglesa).

O teste Toefl divide o tempo para leitura, compreensão auditiva, conversação e redação e o Ielts divide o tempo para compreensão auditiva, interpretação de texto, redação e conversação. Esses testes são feitos por instituições sem fins lucrativos e são aplicados em locais autorizados espalhados pelo país. O valor dos testes é em torno de US$ 200 (aproximadamente R$ 1.074, 31 na cotação atual do dólar) e as inscrições podem ser feitas via internet.

Considerações finais

Saber um novo idioma, principalmente o inglês, é imprescindível tanto para estudantes quanto para profissionais da engenharia, senão para todos. O conhecimento desse idioma abre oportunidades na carreira e possibilidades de se obter novos conhecimentos, tornando o profissional mais capacitado. Desse modo, percebe-se que ter a proficiência nesse idioma faz aumentar as chances de sucesso profissional.

Algumas vezes temos em posse um conjunto de dados e queremos representar o comportamento deles através de uma expressão matemática, seja para fazer projeções fora do espaço amostral dos dados, para analisar interdependência ou, até mesmo, para confirmar hipóteses. Enfim, são muitas as aplicações para isso que podem surgir através da incrível capacidade cognitiva humana.

Aproximar um conjunto de pontos por uma curva de forma que o erro seja mínimo não é uma tarefa trivial, mas é justamente isso que o Método dos Mínimos Quadrados (em inglês, Least Squares Fitting) se propõe a fazer. Veremos no detalhe como o método funciona.

Dados de entrada

Antes de tudo, é necessário definir o conjunto de dados a ser aproximado pelo Método dos Mínimos Quadrados. De forma genérica, definamos pontos no , como mostrado na tabela abaixo.

Além disso, precisamos escolher as funções que definirão a expressão analítica de aproximação. De maneira genérica, definamos funções para a aproximação e respectivos coeficientes para essas funções. A expressão analítica da curva de aproximação será o somatório do produto entre o coeficiente e a função. Parece confuso? A equação abaixo tem o propósito de eliminar quaisquer imprecisões e confusões em minhas palavras.

(1)  

Onde:

é o i-ésimo coeficiente; e

é a i-ésima função.

Para facilitar o entendimento com relação à função de aproximação, vejamos o simples exemplo a seguir onde se deseja aproximar um conjunto de pontos utilizando um polinômio do primeiro grau. Sabe-se que um polinômio do primeiro grau genérico se escreve da seguinte maneira:

(2)  

Utilizando a estrutura apresentada na Equação 1, isto nada mais é do que

(3)  

Onde:

;

; e

e os coeficientes a determinar.

Com isso, considera-se a parte de dados necessários para a realização da aproximação concluída. Prossigamos para a aplicação do Método dos Mínimos Quadrados sobre eles agora.

O Método dos Mínimos Quadrados (MMQ)

De maneira visual, vamos lançar os pontos da amostra no espaço cartesiano e fazer a representação da curva que usaremos na aproximação passando por entre eles.

O parâmetro que mede quão boa é a aproximação realizada pela curva em relação aos pontos conhecidos é a soma dos erros em cada um dos pontos. Matematicamente, o erro no ponto j-ésimo seria:

(4)  

Antes de fazer a soma desse erro para todos os pontos é importante observar que, a depender da posição do ponto em relação à curva (acima ou abaixo), o sinal do erro será diferente. Da forma que foi calculado o erro, se estiver acima será negativo e se estiver abaixo será positivo. Então, para que os erros negativos não compensem os erros positivos e tenhamos um somatório total de erros falseado, adota-se o valor absoluto do erro. 

Então, a soma do erro será:

(5)  

Uma vez definido o erro total do problema, basta minimizá-lo. Por questões de facilidade de manipulação matemática, ao invés de usar o valor absoluto do erro, será considerado o quadrado do erro. Minimizar o quadrado do erro é equivalente a minimizar o próprio erro, então o resultado não será afetado adotando-se essa estratégia.

O erro quadrado fica então escrito da seguinte forma:

(6)  

Substituindo a pela expressão definidas anteriormente, temos:

(7)  

Assim, chegamos ao ponto onde a equação do erro quadrado está definida em função dos pares , que são conhecidos no problema assim como o operador que é aplicado ao , e dos coeficientes que são as incógnitas do problema. Usando um conceito de mínimos e máximos da matemática diferencial (saiba mais), derivamos o quadrado do erro em relação a cada uma dos coeficientes (que são as variáveis) e igualarmos a zero, gerando assim um sistema de equações. O sistema é apresentado abaixo:

(8)  

Como o sistema de equação apresenta valor nulo no lado direito, ele pode ser dividido por 2 para não termos mais o o valor 2 multiplicando o sistema. Além disso, passando o termo independente dos coeficientes para o lado direito e direito, temos:

(9)  

Passando para o formato matricial, então, temos a equação abaixo (se não acompanhou essa passagem, sugiro que “abra” com calma os somatórios da Equação 9).

(10)  

OBS.: Sabendo que . O só foi omitido para simplificar a apresentação da matriz.

Chamando a matriz de , o vetor de coeficientes de e o lado direito da equação , a equação pode ser escrita da seguinte forma:

(11)  

Assim, o vetor de coeficientes, que é a incógnita do problema, pode ser isolado. Para isso, basta pré-multiplicar os dois lados da Equação 11 pela inversa de . Com isso do lado esquerdo resultará (por definição) na matriz identidade, que multiplicada pelo vetor resultará no próprio vetor e o lado direito ficará conforme mostrado abaixo.

(12)  

Dessa forma, do ponto de vista  matemático, o problema está resolvido. No próximo tópico veremos uma abordagem prática para encontrar o vetor de coeficientes.

Abordagem prática do Método dos Mínimos Quadrados

Agora vamos por em prática o método aprendido! Como o processo será manual, faremos a aproximação para uma reta. Como sabemos (ver Equação 2), a equação da reta exige dois coeficientes a serem determinados, e . Associados à esses coeficientes estão as funções e .

Dessa forma, montando o sistema temos:

(13)  

Substituindo as expressões das funções e , temos:

(14)  

utilizando o formato apresentado na Equação 12, onde o vetor de coeficiente está isolado, o sistema de equações passa a ser:

(15)  

Operando a inversa da matriz , a equação passa a ser (daqui para frente os limetes do somatório serão omitidos para despoluir as equações):

(16)  

Daí, podemos retirar facilmente as equações para os coeficientes em função dos pares dados do problema.

(17)  

(18)  

Feito! Dado um conjunto de pontos, somos capazes de obter o coeficiente angular () e linear () da reta que melhor aproxima esses pontos segundo o Método dos Mínimos Quadrados.

Considerações finais sobre o Método dos Mínimos Quadrados

O Método dos Mínimos Quadrados é uma importante ferramenta para os mais diversos profissionais, uma vez que permite a modelagem matemática de dados experimentais. Isso é essencial, pois com modelos matemáticos os dados passam a ter maior valor para análises e previsões.

O cimento portland ou simplesmente cimento é resultado da mistura proporcionada de calcário e argila. Esse material foi patenteado em 1824 pelo pedreiro britânico Joseph Aspdin. Sua mistura continha calcário finamente moído e argila primeiro aquecida e depois moída em pó. Esse material ao entrar em contato com a água endurecia, ou seja, era hidráulico. No estado endurecido, se tornava semelhante a uma rocha encontrada na ilha de Portland, na Inglaterra, o que justifica o segundo termo acrescentado ao nome desse material.

Apesar de ter sido patenteado somente em 1824, o cimento foi realmente concebido em 1756 pelo inglês John Smeaton, que obteve um material resistente através da mistura de componentes argilosos e calcários. Após ele, em 1818, o engenheiro francês Louis Vicat obteve resultados semelhantes. Em 1822 Louis inaugurou a Ponte de Souillac sobre o rio Dordogne na França, feita com o cimento artificial. Apesar desses três nomes aparecerem na história do surgimento desse tão importante material, atualmente, se considera apenas Louis Vicat como o inventor do cimento artificial.

Principais componentes do cimento Portland

Clínquer Portland

O clínquer é um produto granulado obtido da queima de uma mistura de calcário e argila.  As matérias primas (calcário e argila) passam pelo processo de britagem e moagem, são dosados na proporção correta e homogeneizados de maneira que praticamente toda cal (CaO) livre se combine com os compostos argilosos, sem que reste cal livre prejudicial.

Havendo CaO livre, ela poderá, posteriormente, combinar-se com o enxofre. Dessa combinação resultará na formação de um sal que agregará 32 moléculas de água, o que gerará expansão indesejada do cimento.

Após isso, a mistura é queimada ou clinquerizada em um forno com temperatura em torno de 1450°C e posteriormente resfriados. Por fim, as “pedras” de clínquer são moídas para serem misturadas com os outros componentes.

Sulfato de cálcio

Representado pela fórmula química CaSO4, o sulfato de cálcio (gipsita) é um elemento indispensável ao cimento, pois ele retarda a sua hidratação. Em outras palavras, é o sulfato de cálcio que faz com que o cimento não endureça instantaneamente ao entrar em contato com a água, dando tempo para manuseá-lo como se queira.

O clínquer Portland em pó somado ao sulfato de cálcio formam a base para todos os tipos de cimentos comuns existentes. Essa mistura primária é chamada de “cimento simples” ou “CPI” e ao receber outros componentes passa a ter outros nomes como será visto a seguir.

Tipos de cimento Portland

Os diferentes tipos de cimento são identificados por siglas. Seguem abaixo todas elas.

Cimento CPI ou cimento Portland comum

Cimento Portland CPI é o resultado da mistura entre o clínquer Portland e o sulfato de cálcio nas devidas proporções. Ele tem alto custo e baixa resistência. Além disso, é pouco utilizado no mercado atual.

Cimento CPII ou cimento Portland composto

Cimento Portland composto é o cimento comum com a adição de outros materiais. Esses materiais complementares diminuem o calor de hidratação do cimento. É bastante aplicado nos mais diferentes tipos de obras.

Tipos de Cimento Portland composto:

CPII-E: é um cimento comum com adição de escória granulada de alto forno.

CPII-Z: é um cimento comum com adição de pozolanas.

CPII-F: é o cimento comum com adição de fíler. Fíler é um material carbonático.

Cimento CPIII ou cimento Portland de alto-forno

O Cimento CPIII é o cimento comum com adição de 35 a 70% de escória de alto-forno.

Cimento CPIV ou cimento Portland pozolânico

O Cimento CPIV é o cimento comum com adição de 15 a 50% de material pozolânico. Esse tipo é recomendado para concretagens volumosas e em condições de elevadas temperaturas.

Cimento CPV-ARI ou cimento Portland de alta resistência inicial

Esse tipo de cimento possui alta reatividade nas primeiras horas de aplicação. Isso faz com que ele alcance elevada resistência em pouco tempo. Além disso, após 28 dias ele também apresenta maior resistência do que os cimentos convencionais. Ele tem a sua aplicação em obras que exigem rapidez de execução.

Cimento RS ou cimento Portland resistente a sulfatos

Esse cimento, como o nome indica, apresenta a característica de resistir aos meios agressivos sulfatados. Esses meios podem ser a água do mar, o esgoto, águas servidas, águas industriais ou, até mesmo, certos tipos de solos.

Cimento CP-BC ou cimento Portland de baixo calor de hidratação

Esse cimento tem a propriedade de liberar o calor da hidratação em taxas lentas de evolução. Dessa forma, é evitado o aparecimento de fissuras térmica, principalmente e grandes volumes de concreto onde o problema de fissuração térmica é agravado.

Cimento CP-B ou cimento Portland branco

Cimento de coloração branca, que é alcançada através do uso de caulim em substituição da argila e do baixo teor de manganês e ferro na composição. Ele tem aplicação em estruturas e também no rejunte de cerâmicas.

Telhados de argila podem ser encontrados no túnel do tempo em períodos por volta de 10000 ac. A argila era popular porque era um material disponível localmente, mas à medida que nos movemos para o século 19, as telhas de concreto e metal começaram a aparecer regularmente. Hoje, no século 21, a diversidade aumentou ainda mais, como veremos. Há diversos tipos de telhas.

20 a 25% da superfície urbana é constituída por telhados. E um dos elementos essenciais dessas estruturas é a telha. Elas são instaladas nos mais diversos tipos de propriedades residenciais, comerciais e históricas. Abrangem de restaurantes e resorts a museus e igrejas. Podem ser produzidas com diversos materiais, tais como cerâmica, pedra, cimento, amianto, metal, vidro, plástico, madeira e bambu. Os principais tipos de telhas serão apresentados abaixo com suas respectivas características particulares.

Telha cerâmica

As telhas cerâmicas são fabricadas com argila por meio de um processo que envolve homogeneização, moldagem e queima. A argila oferece excelente moldabilidade e alta retenção de coloração. Esse tipo de telha apresenta baixa transmissão de calor e ruído, o que aumenta o conforto térmico e acústico da edificação, e têm alta durabilidade. Por outro lado, são pesadas, o que exige uma estrutura reforçada para o telhado, propensas à quebra caso não sejam manuseadas com cuidado,  e, além disso, exigem profissionais experientes para a montagem. Os modelos mais comuns são: americana, francesa, romana, italiana e portuguesa.

Tipos de telhas cerâmicas

Imín: Inclinação mínima do telhado.

Tipos de acabamentos para telhado cerâmico

Curiosidade: No Brasil, o uso de telhas cerâmicas ocorre desde o descobrimento. Inicialmente as telhas eram conformadas manualmente com mão-de-obra escrava, onde estes as moldavam nas suas pernas.

Telha metálica

Nas formas ondulada ou trapezoidal a telha metálica se destaca por sua leveza e facilidade de instalação. Pode ser produzida com alumínio, estanho, cobre, zinco ou aço galvanizado. Tem elevada longevidade e durabilidade se comparada com os outros tipos de telhas, podendo ter uma vida útil de até 70 anos. Por outro lado, apresenta comportamento ruidoso em eventos de chuva e queda de granizo.

A inclinação mínima recomendada para essa telha é de 5%.

Se apresenta em três versões principais: tradicional, sanduíche e forro.

Telha metálica tradicional

Composta por uma lâmina de aço galvanizado em formato ondulado ou trapezoidal. O formato ondulado permite a instalação em forma de arco, o que é muito comum em galpões e que, dificilmente, pode ser reproduzido com a maiorias dos outros tipos de telhas.

Telha metálica sanduíche

Composta por duas lâminas de aço galvanizado em formato trapezoidal intercaladas por uma camada de poliestireno expandido (EPS), mais conhecido como isopor.

Telha metálica de forro

Composta por uma lâmina superior de aço galvanizado em formato trapezoidal, uma camada interna de poliuretano e uma camada inferior de PVC, deixando o aspecto de forro para a vista de baixo.

Telha de fibrocimento

As telhas de fibrocimento são desenvolvidas com a tecnologia CRFS (Cimento Reforçado com Fios Sintéticos). São utilizadas em obras residenciais, comerciais, etc. Se o foco da sua obra é rapidez e praticidade na construção, a telha Ondulada é a melhor alternativa. Por conta disso, ela é muito utilizada em projetos de escolas, hospitais, indústrias e conjuntos habitacionais.  Instalação simples e rápida, exige estrutura simples de apoio e apresenta grande variedade de peças complementares. Deve ser instalada com inclinação mínima de 9% (5°). Possui garantia de até 5 anos.

Telha ecológica

As telhas ecológicas são elementos de cobertura fabricados com material reciclado. Podem ser produzidas com resíduos de fibras vegetais, tais como pinho, eucalipto, bananeira e coco. Também podem ser fabricadas a partir da fibra de celulose, extraída de papel reciclado. Apresenta considerável leveza, chegando a ser 12 vezes mais leve do que os tipos de telhas de cerâmica e 4 vezes mais leve do que as telhas de fibrocimento. Do ponto de vista estético, muitas vezes esse tipo de telha não se promove muito bem.

Telha de vidro

A telha de vidro é uma ótima opção para quem deseja aproveitar a iluminação natural no interior da edificação.  Permite a passagem de luz, inibe a ocorrência de fungos e a proliferação de morcegos. É um elemento decorativo que contribui para a economia de energia elétrica.

A instalação é rápida, no entanto, exige mais cuidado. A manutenção não é constante, mas o custo para aplicação pode ser um pouco mais elevado que o dos outros tipos de telhas mais comuns.

Telha de concreto

Telhas de concreto são formadas essencialmente a partir da mistura de cimento Portland, areia, água e corantes. Possuem diversas formas e texturas e apresentam alta resistência ao vento. Se comparadas com as telhas cerâmicas, apresentam menor vida útil. Assim como a telha cerâmica, são pesadas, exigindo uma estrutura reforçada para o telhado, propensas à quebra caso não sejam manuseadas com cuidado  e exigem profissionais experientes para a montagem.

Apresenta baixa condutividade térmica, garantindo conforto no interior da casa, pouca absorção de água, levando a um telhado mais leve quando chove. Além disso, tem resistência que se destaca entre os tipos de telhas existentes, suportando cargas superiores a 200 kg. Pesa em torno de 40 kg/m² e possui 20 anos de garantia.

Telha translúcida

Ondulada ou trapezoidal é uma telha fabricada com polipropileno ou policarbonato. Permite a passagem de aproximadamente 70% da iluminação incidente sobre o telhado e é resistente aos raios solares. Tem boa durabilidade e resistência e é de fácil instalação. No caso dessa telha, a inclinação sugerida é de 27% (15°).

Esse tipo de telha pode ser mesclado com as telhas opacas de fibrocimento, proporcionando um telhado com regiões de iluminação específicas.

Telha gravilhada

Telha metálica revestida com material cerâmico. Material de alta tecnologia e sofisticação e, além disso, é durável e confere conforto à residência. Pesa 6,2 kg por m², é resistente e de fácil instalação. Não irradia calor, não absorve umidade e não gera ruído significativo sob chuvas fortes.

Além de reduzir os custos com mão de obra e estrutura de sustentação, as telhas gravilhadas conferem à arquitetura um acabamento diferenciado.

Podem ser encontrados os tipos Francesa, Romana e Shake. A inclinação mínima é de 12%.

Telha de compósito

Telha fabricada a partir de plástico e outros materiais sustentáveis. Como é característico dos materiais compósitos, apresenta baixa densidade, ou seja, é mais leve que a maioria das suas concorrentes. Por ser durável, algumas telhas de compósito dispões de uma garantia de 50 anos.

Telha fotovoltaica

Telha especial que, além de garantir a cobertura da residência, converte a energia proveniente da radiação solar em energia elétrica. Ela possui uma célula fotovoltaica acoplada responsável pela conversão de energia. Esse tipo de telha ainda é novo no Brasil, mas tem despertado o interesse do público por ser uma tecnologia que traz eficiência energética e contribui para a sustentabilidade, uma vez que produz energia de forma limpa e renovável. A grande dificuldade de popularização desse material é o seu alto custo se comparado aos tipos de telhas tradicionais.

O aço é uma liga de ferro carbono com no máximo 2,1% de carbono além dos elementos residuais inerentes ao processo de fabricação, tais como fósforo, enxofre, manganês e silício. Ele é obtido a partir de uma rocha conhecida como Hematita. Nas siderúrgicas, a hematita é reduzida formando o ferro gusa, que é a liga de ferro carbono. O agente redutor é o carbono. A liga de ferro carbono com mais de 2,1% de carbono em sua composição é classificada como ferro fundido e a outra parcela é classificada como aço.

Neste texto, vamos falar um pouco sobre a cal. Primeiramente, cal é o nome genérico de um aglomerante simples que resulta da calcinação de rochas calcárias. Além disso, essas rochas se apresentam sob diversas variedades, com características resultantes da natureza da matéria-prima empregada e no processamento conduzido. Em suma, a calcinação da rocha pura produz um óxido de cálcio puro (insumo industrial) que é um produto mais valorizado do que os normalmente utilizados na construção.

Matéria-prima para a produção do aglomerante cal

A princípio, sabe-se que nas rochas calcárias naturais, o carbonato de cálcio é frequentemente substituído pelo carbonato de magnésio, que não constitui uma impureza. Nesse sentido, a sílica, os óxidos de ferro e de alumínio são as impurezas mais comuns presentes nas rochas calcárias. Do mesmo modo, além das rochas calcárias, prestam-se também como matéria-prima os depósitos de esqueletos de animais como ocorre nos sambaquis.

Reações químicas do aglomerante cal

Inicialmente, na calcinação do calcário natural, o carbonato de cálcio é submetido a ação do calor a temperatura aproximada de 900°. Dessa forma, decompõe-se em óxido de cálcio e anidridos carbônicos. Esse processo ocorre de acordo com a seguinte reação química.

CaCO₃ +Calor → CaO + CO₂

Semelhantemente, o carbonato de magnésio (MgC03) se decompõe a uma temperatura ligeiramente inferior.

A cal viva

Antes de tudo, este material é o produto da calcinação do calcário natural. Primordialmente, ela contém óxido de calcário e exibe estrutura porosa e formatos idênticos aos dos grãos da rocha original. Além disso, podem ter vários tamanhos em função do processo de fabricação utilizado. Mas, em geral, são grãos de grandes dimensões, com 10 a 20 cm. Assim, são chamadas pedra de cal viva.

A cal extinta

Sobretudo, a cal viva não é ainda o aglomerante utilizado na construção. Portanto, o óxido deve ser hidratado, transformando-se em hidróxido, que é o constituinte básico do aglomerante cal. Nesse sentido, a operação de hidratação recebe o nome de extinção. Assim, o hidróxido resultante denomina-se cal extinta quando o processo se realiza no local do emprego do material e cal hidratada quando a extinção se processa na fábrica.

Assim também, a reação química de extinção da cal viva é a seguinte:

CaO + H₂O → Ca(OH)₂

A cal hidratada

Primeiramente, a cal hidratada é um produto manufaturado que sofreu na usina o processo de hidratação. Dessa forma, é apresentada como um produto seco, em forma de flocos de cor branca. Por fim, a hidratação é feita em usinas por meio de um processo mecânico realizado em 3 estágios.

1. Antes de tudo, a cal viva é moída e pulverizada.
2. Em seguida, o material moído é misturado com a quantidade de água necessária.
3. Por fim, é realizado um peneiramento ou outra técnica equivalente. Assim, a cal é separada da não hidratada e das impurezas.

Classificação do aglomerante cal

Atualmente, se classificam as variedades de cal segundo dois critérios:

Classificação da cal de acordo com a composição química

• Cal cálcica

Tipo de cal que possui um teor mínimo de 75% de Ca0.

• Cal magnesiana

Tipo de cal com um teor mínimo de 20% de Mg0.

Classificação da cal de acordo com o rendimento da pasta

• Cal gorda

Tipo de cal com rendimento em pasta maior do que 1,82.

• Cal magra

Tipo de cal com rendimento em pasta menor do  que 1,82.

Processo de extinção da cal

Esse processo consiste na hidratação da cal viva, obtida mediante adição de água. Nesse sentido, a hidratação é uma reação altamente exotérmica, acompanhada de considerável aumento de volume. Dessa forma, na variedade cálcica de grande pureza, o processo é violento. Por outro lado, na variedade magnesiana, o processo é mais lento e consequentemente a produção de calor e o aumento de volume são menores.

Dinâmica da reação de extinção do aglomerante cal

A reação de hidratação da cal viva pode resultar na produção de hidróxido em forma cristalina ou coloidal em proporções que dependem das condições mantidas durante a reação. Assim, os cristais formam-se e desenvolvem-se devagar enquanto o hidróxido coloidal se forma com grande rapidez. Nesse sentido, a utilização de água quente ou morna e a agitação da mistura concorrem para o aumento da proporção de colóides, que melhora a plasticidade, o rendimento e a capacidade de sustentação da areia.

Cuidados no processo de extinção do aglomerante cal

Na extinção da cal cálcica, usualmente gorda, deve-se evitar a violenta elevação da temperatura, controlando o processo no sentido de um desenvolvimento térmico aceitável. Por outro lado, na extinção da cal magnesiana ocorre o contrário. Por ser lenta, a reação de hidratação, convém aproveitar a energia a energia térmica para acelerar o processo, que então resulta em uma maior proporção da fase coloidal de hidróxidos. Assim, no primeiro caso, para eliminar o perigo de queima da cal, o processo é conduzido com excesso de água. Por outro lado, no segundo caso, com controle da água utilizada.

Envelhecimento da pasta

Terminada a operação de extinção da cal, a pasta deve ser envelhecida, para que a hidratação se complete inteiramente.

• A pasta de cal obtida pela extinção da cal em pedra deve envelhecer de 7 a 10 dias
• Pode-se utilizar a pasta obtida pela extinção de cal em pó depois de 14h
• Pastas obtidas pela extinção de cal de variedades magnesianas devem ser envelhecidas por períodos mais longos, até 2 semanas.

Processo de endurecimento da cal

A cal extinta é utilizada em misturas com água e areia em proporções apropriadas na elaboração de argamassas. Acima de tudo, elas têm consistência mais ou menos plástica que endurecem por recombinação do hidróxido com o gás carbônico presente na atmosfera, reconstituindo o carbonato original. Além disso, esse endurecimento se processa com lentidão e ocorre de fora para dentro. Por fim, o mecanismo de endurecimento, que depende do gás carbônico da atmosfera, explica o nome dado a esse aglomerante: Cal aérea.

A reação de carbonatação é a seguinte:

Ca(OH)₂ +  CO₂ →  CaCO₃ + H₂O

Sobretudo, essa reação ocorre na temperatura ambiente e exige a presença de água. Pois, o gás carbônico seco não combina satisfatoriamente com o hidróxido.

Comparação da cal: hidratada versus viva

Vantagens da cal hidratada

1. Primeiramente, tem maior facilidade de manuseio, transporte e armazenamento
2. Em seguida, é um produto pronto para ser utilizado eliminando em canteiro as operações de extinção e envelhecimento
3. Além disso, sendo produto seco e pulverulento, oferece maior facilidade de mistura na elaboração de argamassas
4. Por fim, não está sujeito aos riscos provocados pela hidratação espontânea da cal viva. Além disso, não tem risco de incêndios que poderiam ocorrer durante o seu transporte ou armazenamento.

Vantagens da cal viva

1. Primeiramente, a plasticidade das argamassas preparadas com pasta de cal resultante da extinção da cal viva é normalmente superior às preparadas com a cal hidratada.
2. O rendimento econômico é maior, assim como a capacidade de sustentação de areia.
3. Além disso, muita cal hidratada, por defeito no processo de fabricação, apresenta tão baixa proporção de coloides que sua plasticidade é muito reduzida. Todavia, isso dificilmente ocorre quando se utiliza a cal viva extinta.

Aplicação do aglomerante cal na construção civil

• Como um dos materiais para a produção da argamassa utilizada no emboço e no assentamento de alvenaria.
• Pinturas em construções de baixa responsabilidade, como as obras temporárias.
• Também, na utilização da técnica de solo-cal na estabilização de solos.