{"id":120,"date":"2022-10-22T16:12:12","date_gmt":"2022-10-22T16:12:12","guid":{"rendered":"https:\/\/blog.oengenheirovirtual.com.br\/?p=120"},"modified":"2023-03-04T04:57:08","modified_gmt":"2023-03-04T04:57:08","slug":"o-metodo-dos-minimos-quadrados","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/o-metodo-dos-minimos-quadrados\/","title":{"rendered":"O m\u00e9todo dos m\u00ednimos quadrados"},"content":{"rendered":"

O m\u00e9todo dos m\u00ednimos quadrados<\/h1>\n

Algumas vezes temos em posse um conjunto de dados e queremos representar o comportamento deles atrav\u00e9s de uma express\u00e3o matem\u00e1tica, seja para fazer proje\u00e7\u00f5es fora do espa\u00e7o amostral dos dados, para analisar interdepend\u00eancia ou, at\u00e9 mesmo, para confirmar hip\u00f3teses. Enfim, s\u00e3o muitas as aplica\u00e7\u00f5es para isso que podem surgir atrav\u00e9s da incr\u00edvel capacidade cognitiva humana.<\/span><\/p>\n\n

Aproximar um conjunto de pontos por uma curva de forma que o erro seja m\u00ednimo n\u00e3o \u00e9 uma tarefa trivial, mas \u00e9 justamente isso que o M\u00e9todo dos M\u00ednimos Quadrados (em ingl\u00eas, <\/span>Least Squares Fitting<\/span><\/i>)<\/span> se prop\u00f5e a fazer. Veremos no detalhe como o m\u00e9todo funciona.<\/span><\/p>\n

Dados de entrada<\/b><\/h2>\n

Antes de tudo, \u00e9 necess\u00e1rio definir o conjunto de dados a ser aproximado pelo M\u00e9todo dos M\u00ednimos Quadrados. De forma gen\u00e9rica, definamos \"n\" pontos no \"\mathbb{R}^2\", como mostrado na tabela abaixo.<\/span><\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n
\"\textbf{x}\"<\/th>\n\"\textbf{y}\"<\/th>\n<\/tr>\n
\"x_{1}\"<\/td>\n\"y_{1}\"<\/td>\n<\/tr>\n
\"x_{2}\"<\/td>\n\"y_{2}\"<\/td>\n<\/tr>\n
\"\vdots\"<\/td>\n\"\vdots\"<\/td>\n<\/tr>\n
\"x_{n}\"<\/td>\n\"y_{n}\"<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Al\u00e9m disso, precisamos escolher as fun\u00e7\u00f5es que definir\u00e3o a express\u00e3o anal\u00edtica de aproxima\u00e7\u00e3o. De maneira gen\u00e9rica, definamos \"k\" fun\u00e7\u00f5es para a aproxima\u00e7\u00e3o e \"k\" respectivos coeficientes para essas fun\u00e7\u00f5es. A express\u00e3o anal\u00edtica da curva de aproxima\u00e7\u00e3o ser\u00e1 o somat\u00f3rio do produto entre o \"i-ésimo\" coeficiente e a \"i-ésima\" fun\u00e7\u00e3o. Parece confuso? A equa\u00e7\u00e3o abaixo tem o prop\u00f3sito de eliminar quaisquer imprecis\u00f5es e confus\u00f5es em minhas palavras.<\/span><\/p>\n

<\/a><\/p>\n

(1) <\/span>   <\/span>\"\begin{equation*}<\/p>\n

Onde:<\/span><\/p>\n

\"a_{i}\" \u00e9 o i-\u00e9simo coeficiente; e<\/span><\/p>\n

\"\Phi_{i}\"<\/span> \u00e9 a i-\u00e9sima fun\u00e7\u00e3o.<\/span><\/p>\n

Para facilitar o entendimento com rela\u00e7\u00e3o \u00e0 fun\u00e7\u00e3o de aproxima\u00e7\u00e3o, vejamos o simples exemplo a seguir onde se deseja aproximar um conjunto de pontos utilizando um polin\u00f4mio do primeiro grau. Sabe-se que um polin\u00f4mio do primeiro grau gen\u00e9rico se escreve da seguinte maneira:<\/span><\/p>\n

<\/a><\/p>\n

(2) <\/span>   <\/span>\"\begin{equation*}<\/p>\n

Utilizando a estrutura apresentada na Equa\u00e7\u00e3o 1<\/a>, isto nada mais \u00e9 do que<\/span><\/p>\n

<\/a><\/p>\n

(3) <\/span>   <\/span>\"\begin{equation*}<\/p>\n

Onde:<\/p>\n

\"\Phi_{1}=1\";<\/span><\/p>\n

\"\Phi_{2}=x\"; e<\/span><\/p>\n

\"a_{1}\" e \"a_{2}\" os coeficientes a determinar.<\/span><\/p>\n

Com isso, considera-se a parte de dados necess\u00e1rios para a realiza\u00e7\u00e3o da aproxima\u00e7\u00e3o conclu\u00edda. Prossigamos para a aplica\u00e7\u00e3o do M\u00e9todo dos M\u00ednimos Quadrados sobre eles agora.<\/span><\/p>\n

O M\u00e9todo dos M\u00ednimos Quadrados (MMQ)<\/b><\/h2>\n

De maneira visual, vamos lan\u00e7ar os pontos da amostra no espa\u00e7o cartesiano e fazer a representa\u00e7\u00e3o da curva \"f\"<\/span> que usaremos na aproxima\u00e7\u00e3o passando por entre eles.<\/span><\/p>\n

\"\"<\/p>\n

O par\u00e2metro que mede qu\u00e3o boa \u00e9 a aproxima\u00e7\u00e3o realizada pela curva \"f\"<\/span> em rela\u00e7\u00e3o aos pontos conhecidos \u00e9 a soma dos erros em cada um dos pontos. Matematicamente, o erro no ponto j-\u00e9simo seria:<\/span><\/p>\n

<\/a><\/p>\n

(4) <\/span>   <\/span>\"\begin{equation*}<\/p>\n

Antes de fazer a soma desse erro para todos os pontos \u00e9 importante observar que, a depender da posi\u00e7\u00e3o do ponto em rela\u00e7\u00e3o \u00e0 curva (acima ou abaixo), o sinal do erro ser\u00e1 diferente. Da forma que foi calculado o erro, se estiver acima ser\u00e1 negativo e se estiver abaixo ser\u00e1 positivo. Ent\u00e3o, para que os erros negativos n\u00e3o compensem os erros positivos e tenhamos um somat\u00f3rio total de erros falseado, adota-se o valor absoluto do erro.\u00a0<\/span><\/p>\n

Ent\u00e3o, a soma do erro ser\u00e1:<\/span><\/p>\n

<\/a><\/p>\n

(5) <\/span>   <\/span>\"\begin{equation*}<\/p>\n

Uma vez definido o erro total do problema, basta minimiz\u00e1-lo. Por quest\u00f5es de facilidade de manipula\u00e7\u00e3o matem\u00e1tica, ao inv\u00e9s de usar o valor absoluto do erro, ser\u00e1 considerado o quadrado do erro. Minimizar o quadrado do erro \u00e9 equivalente a minimizar o pr\u00f3prio erro, ent\u00e3o o resultado n\u00e3o ser\u00e1 afetado adotando-se essa estrat\u00e9gia.<\/span><\/p>\n

O erro quadrado fica ent\u00e3o escrito da seguinte forma:<\/span><\/p>\n

<\/a><\/p>\n

(6) <\/span>   <\/span>\"\begin{equation*}<\/p>\n

Substituindo a \"f\" pela express\u00e3o definidas anteriormente, temos:<\/span><\/p>\n

<\/a><\/p>\n

(7) <\/span>   <\/span>\"\begin{equation*}<\/p>\n

Assim, chegamos ao ponto onde a equa\u00e7\u00e3o do erro quadrado est\u00e1 definida em fun\u00e7\u00e3o dos pares \"(x_{j};y_{j})\", que s\u00e3o conhecidos no problema assim como o operador \"\Phi_{i}\" que \u00e9 aplicado ao \"x_{j}\", e dos coeficientes \"a_{i}\" que s\u00e3o as inc\u00f3gnitas do problema. Usando um conceito de m\u00ednimos e m\u00e1ximos da matem\u00e1tica diferencial (<\/span>saiba mais<\/span><\/a>), derivamos o quadrado do erro em rela\u00e7\u00e3o a cada uma dos \"n\" coeficientes (que s\u00e3o as vari\u00e1veis) e igualarmos a zero, gerando assim um sistema de \"n\" equa\u00e7\u00f5es. O sistema \u00e9 apresentado abaixo:<\/span><\/p>\n

<\/a><\/p>\n

(8) <\/span>   <\/span>\"\begin{equation*}<\/p>\n

Como o sistema de equa\u00e7\u00e3o apresenta valor nulo no lado direito, ele pode ser dividido por 2 para n\u00e3o termos mais o o valor 2 multiplicando o sistema. Al\u00e9m disso, passando o termo independente dos coeficientes \"a_{i}\" para o lado direito e direito, temos:
\n<\/a><\/p>\n

(9) <\/span>   <\/span>\"\begin{equation*}<\/p>\n

Passando para o formato matricial, ent\u00e3o, temos a equa\u00e7\u00e3o abaixo (se n\u00e3o acompanhou essa passagem, sugiro que “abra” com calma os somat\u00f3rios da Equa\u00e7\u00e3o 9<\/a>).<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

(10) <\/span>   <\/span>\"\begin{equation*}<\/p>\n

OBS.: Sabendo que \"\Phi = \Phi(x_{j})\". O \"x_{j}\" s\u00f3 foi omitido para simplificar a apresenta\u00e7\u00e3o da matriz.<\/p>\n

Chamando a matriz de \"\Phi\", o vetor de coeficientes de \"\vec{a}\" e o lado direito da equa\u00e7\u00e3o \"\vec{b}\", a equa\u00e7\u00e3o pode ser escrita da seguinte forma:<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

(11) <\/span>   <\/span>\"\begin{equation*}<\/p>\n

Assim, o vetor de coeficientes, que \u00e9 a inc\u00f3gnita do problema, pode ser isolado. Para isso, basta pr\u00e9-multiplicar os dois lados da Equa\u00e7\u00e3o 11<\/a> pela inversa de \"\Phi\". Com isso \"\Phi^{-1}\Phi\" do lado esquerdo resultar\u00e1 (por defini\u00e7\u00e3o) na matriz identidade, que multiplicada pelo vetor \"\vec{a}\" resultar\u00e1 no pr\u00f3prio vetor e o lado direito ficar\u00e1 conforme mostrado abaixo.<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

(12) <\/span>   <\/span>\"\begin{equation*}<\/p>\n

Dessa forma, do ponto de vista\u00a0 matem\u00e1tico, o problema est\u00e1 resolvido. No pr\u00f3ximo t\u00f3pico veremos uma abordagem pr\u00e1tica para encontrar o vetor de coeficientes.<\/p>\n

Abordagem pr\u00e1tica do M\u00e9todo dos M\u00ednimos Quadrados<\/h2>\n

Agora vamos por em pr\u00e1tica o m\u00e9todo aprendido! Como o processo ser\u00e1 manual, faremos a aproxima\u00e7\u00e3o para uma reta. Como sabemos (ver Equa\u00e7\u00e3o 2<\/a>), a equa\u00e7\u00e3o da reta exige dois coeficientes a serem determinados, \"a_{1}\" e \"a_{2}\". Associados \u00e0 esses coeficientes est\u00e3o as fun\u00e7\u00f5es \"\Phi_{1}=1\" e \"\Phi_{2}=x\".<\/p>\n

Dessa forma, montando o sistema temos:<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

(13) <\/span>   <\/span>\"\begin{equation*}<\/p>\n

Substituindo as express\u00f5es das fun\u00e7\u00f5es \"\Phi_{1}\" e \"\Phi_{2}\", temos:<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

(14) <\/span>   <\/span>\"\begin{equation*}<\/p>\n

utilizando o formato apresentado na Equa\u00e7\u00e3o 12<\/a>, onde o vetor de coeficiente est\u00e1 isolado, o sistema de equa\u00e7\u00f5es passa a ser:<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

(15) <\/span>   <\/span>\"\begin{equation*}<\/p>\n

Operando a inversa da matriz \"\Phi\", a equa\u00e7\u00e3o passa a ser (daqui para frente os limetes do somat\u00f3rio ser\u00e3o omitidos para despoluir as equa\u00e7\u00f5es):<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

(16) <\/span>   <\/span>\"\begin{equation*}<\/p>\n

Da\u00ed, podemos retirar facilmente as equa\u00e7\u00f5es para os coeficientes em fun\u00e7\u00e3o dos \"n\" pares \"(x_{j}, y_{j})\" dados do problema.<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

(17) <\/span>   <\/span>\"\begin{equation*}<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

(18) <\/span>   <\/span>\"\begin{equation*}<\/p>\n

Feito! Dado um conjunto de pontos, somos capazes de obter o coeficiente angular (\"a_{2}\") e linear (\"a_{1}\") da reta que melhor aproxima esses pontos segundo o M\u00e9todo dos M\u00ednimos Quadrados.<\/p>\n

Considera\u00e7\u00f5es finais sobre o M\u00e9todo dos M\u00ednimos Quadrados<\/h2>\n

O M\u00e9todo dos M\u00ednimos Quadrados \u00e9 uma importante ferramenta para os mais diversos profissionais, uma vez que permite a modelagem matem\u00e1tica de dados experimentais. Isso \u00e9 essencial, pois com modelos matem\u00e1ticos os dados passam a ter maior valor para an\u00e1lises e previs\u00f5es.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

O m\u00e9todo dos m\u00ednimos quadrados Algumas vezes temos em posse um conjunto de dados e queremos representar o comportamento deles atrav\u00e9s de uma express\u00e3o matem\u00e1tica, seja para fazer proje\u00e7\u00f5es fora do espa\u00e7o amostral dos dados, para analisar interdepend\u00eancia ou, at\u00e9 mesmo, para confirmar hip\u00f3teses. Enfim, s\u00e3o muitas as aplica\u00e7\u00f5es para isso que podem surgir atrav\u00e9s …<\/p>\n

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