Assim, em torno da d\u00e9cada de 50 o M\u00e9todo dos Elementos Finitos come\u00e7ou a ser utilizado na ind\u00fastria, e em 1960 R.W. Clough de Berkley usou pela primeira vez o termo Finite Element<\/em> em uma publica\u00e7\u00e3o. N\u00e3o deixando o m\u00e9rito apenas para Clough, a literatura, e particularmente os alem\u00e3es, afirma que o professor J.H. Argyris (alem\u00e3o) atuou ativamente nesse per\u00edodo no desenvolvimento do m\u00e9todo. <\/span><\/p>\n Como se n\u00e3o fosse o bastante, matem\u00e1ticos tamb\u00e9m buscam seu lugar ao sol nessa cria\u00e7\u00e3o. H\u00e1 evid\u00eancias de que na d\u00e9cada de 40 o grande matem\u00e1tico Courant j\u00e1 teria publicado um artigo onde ele resolveu um problema de vibra\u00e7\u00f5es utilizando elementos Finitos triangulares (sem nomea\u00e7\u00e3o do m\u00e9todo). E n\u00e3o para por a\u00ed. Se formos mais fundo veremos os nomes Jhon William Strutt, Walther Ritz, Boris Galerkin, Hrennikoff, entre outros que contribu\u00edram de alguma forma para o m\u00e9todo desde o in\u00edcio do s\u00e9culo XX.<\/span><\/p>\n\n Ap\u00f3s essa introdu\u00e7\u00e3o hist\u00f3rica com alta densidade de protagonistas, vamos caminhar cuidadosamente em dire\u00e7\u00e3o ao entendimento do m\u00e9todo sob a luz da matem\u00e1tica e da engenharia.<\/p>\n \u00c0 princ\u00edpio, vou ser evasivo no que diz respeito \u00e0 defini\u00e7\u00e3o do M\u00e9todo dos Elementos Finitos e de suas aplica\u00e7\u00f5es. Dada a grandeza e generalidade do m\u00e9todo, n\u00e3o vou me comprometer a limit\u00e1-lo a uma gama de problemas de engenharia atuais. As pesquisas podem revelar futuramente que ele \u00e9 mais poderoso do que j\u00e1 temos considerado. Dessa forma, recorrendo \u00e0 matem\u00e1tica, me sinto confort\u00e1vel apenas em defini-lo como um m\u00e9todo aproximado de solu\u00e7\u00e3o de equa\u00e7\u00f5es diferenciais parciais atrav\u00e9s da minimiza\u00e7\u00e3o de funcionais.<\/p>\n Desculpe-me pela pretens\u00e3o expressa no t\u00edtulo deste t\u00f3pico, mas vou ficar por aqui com a defini\u00e7\u00e3o. Acredito fortemente que seja mais did\u00e1tico que voc\u00ea entenda por si s\u00f3 do que se trata o m\u00e9todo e qual a sua utilidade atrav\u00e9s do desenvolvimento que ser\u00e1 apresentado abaixo. Um pequeno alerta que fa\u00e7o, por\u00e9m, \u00e9 que aqui nos concentraremos em apenas apresentar uma introdu\u00e7\u00e3o ao m\u00e9todo. Portanto, ao final da leitura, saiba que o M\u00e9todo dos Elementos Finitos \u00e9\/pode isso e muito mais.<\/p>\n Vamos iniciar com algo simples. Proponhamos solucionar uma equa\u00e7\u00e3o diferencial unidirecional. Esse problema ter\u00e1, al\u00e9m da equa\u00e7\u00e3o, um dom\u00ednio no qual ela \u00e9 v\u00e1lida e valores para a fun\u00e7\u00e3o ou sua derivada no contorno do dom\u00ednio, caracterizando, dessa forma, um problema cl\u00e1ssico de valor de contorno unidimensional. Para aplica\u00e7\u00e3o do MEF (M\u00e9todo dos Elementos Finitos) ou FEM em ingl\u00eas (Finite Element Method), n\u00e3o \u00e9 necess\u00e1rio que o problema tenha solu\u00e7\u00e3o anal\u00edtica. Por\u00e9m, para efeito de verifica\u00e7\u00e3o dos resultados obtidos atrav\u00e9s do m\u00e9todo, escolheremos um caso que possua solu\u00e7\u00e3o anal\u00edtica. Dito isso, abaixo segue a express\u00e3o que, em linguagem matem\u00e1tica, resume todo o texto desenvolvido at\u00e9 aqui neste t\u00f3pico.<\/p>\n <\/a><\/p>\n (1) <\/span> <\/span> Obs.: A ideia por tr\u00e1s dos termos essencial e natural das condi\u00e7\u00f5es de contorno ser\u00e1 revelada no decorrer da leitura.<\/em><\/p>\n O M\u00e9todo dos Elementos Finitos nos permitir\u00e1 obter uma fun\u00e7\u00e3o A equa\u00e7\u00e3o original (1<\/a>) representa a formula\u00e7\u00e3o forte<\/em> do problema. Essa formula\u00e7\u00e3o \u00e9 caracterizada por equa\u00e7\u00f5es de governo, normalmente diferenciais, e condi\u00e7\u00f5es de contorno que exigem uma solu\u00e7\u00e3o cont\u00ednua (suave).\u00a0 Em contraste, a formula\u00e7\u00e3o fraca<\/em>, com o objetivo de simplificar o problema, faz concess\u00f5es no que diz respeito \u00e0 condi\u00e7\u00e3o de continuidade da solu\u00e7\u00e3o, possuindo exig\u00eancias de continuidade mais fracas. Em suma, a formula\u00e7\u00e3o fraca de um problema \u00e9 a forma integral equivalente de sua formula\u00e7\u00e3o forte. Obter a formula\u00e7\u00e3o fraca da equa\u00e7\u00e3o (1<\/a>) ser\u00e1 o nosso desafio dessa etapa.<\/p>\n Utilizaremos o m\u00e9todo dos res\u00edduos ponderados<\/em> para obter a forma fraca da nossa equa\u00e7\u00e3o diferencial. H\u00e1 outras possibilidades de se obter a forma fraca de equa\u00e7\u00f5es diferenciais, por\u00e9m, esse m\u00e9todo \u00e9 o mais gen\u00e9rico entre os seus pares.<\/p>\n Sem delongas, ent\u00e3o, integremos a nossa equa\u00e7\u00e3o “forte” ao longo de todo o seu dom\u00ednio.<\/p>\n <\/a><\/p>\n (2) <\/span> <\/span> Bom, temos agora o problema inicial na forma de uma integral. Mas \u00e9 equivalente? Vamos analisar: a equa\u00e7\u00e3o 1<\/a> exige que todo o termo dentro da integral acima valha zero ao longo de todo o dom\u00ednio. Ao integrarmos esse termo e for\u00e7armos o resultado zero n\u00e3o necessariamente garantimos que ele valer\u00e1 zero ao longo de todo o dom\u00ednio. Basta pensar numa equa\u00e7\u00e3o hipot\u00e9tica h(x) com o seguinte gr\u00e1fico:<\/p>\n Pela antissimetria do gr\u00e1fico no intervalo <\/a><\/p>\n (3) <\/span> <\/span> N\u00e3o implica em Ent\u00e3o, para n\u00e3o abrirmos espa\u00e7o em nossa formula\u00e7\u00e3o fraca para uma solu\u00e7\u00e3o que apresente valores diferentes da formula\u00e7\u00e3o forte ao longo do dom\u00ednio, temos que garantir que o integrante da equa\u00e7\u00e3o 2<\/a> seja nulo ao longo de todo o dom\u00ednio, assim como na equa\u00e7\u00e3o 1<\/a>. Fazer isso n\u00e3o \u00e9 t\u00e3o dif\u00edcil. Basta multiplicar o integrando por uma fun\u00e7\u00e3o qualquer. Sendo uma fun\u00e7\u00e3o qualquer, para que a equa\u00e7\u00e3o seja satisfeita, obrigatoriamente a outra parte do produto deve ser zero. Pronto: a condi\u00e7\u00e3o da equa\u00e7\u00e3o 1<\/a> foi preservada. Matematicamente, temos:<\/p>\n <\/a><\/p>\n (4) <\/span> <\/span> Desvendando parcialmente o nome do m\u00e9todo que estamos aplicando (res\u00edduos ponderados<\/em>), chamaremos Primeiro, separando a soma em duas integrais temos:<\/p>\n <\/a><\/p>\n (5) <\/span> <\/span> Segundo, aplicando a integra\u00e7\u00e3o por partes<\/a> na primeira integral, temos:<\/p>\n <\/a><\/p>\n (6) <\/span> <\/span> Sabendo que <\/a><\/p>\n (7) <\/span> <\/span> Repare que aparece aqui a condi\u00e7\u00e3o de contorno <\/a><\/p>\n (8) <\/span> <\/span> Vamos agora subdividir o dom\u00ednio do problema em Ent\u00e3o, a solu\u00e7\u00e3o do problema por elementos finitos consiste em se obter coeficiente constantes ( Matematicamente, a aproxima\u00e7\u00e3o final para <\/a><\/p>\n (9) <\/span> <\/span> A fun\u00e7\u00e3o de interpola\u00e7\u00e3o dever\u00e1 ser escolhida, e os coeficientes constantes ser\u00e3o obtidos como solu\u00e7\u00e3o do problema em sua forma fraca (8<\/a>). Veremos a parte de obten\u00e7\u00e3o dos coeficientes mais adiante. Por agora, nos concentremos em entender as t\u00e3o importantes fun\u00e7\u00f5es de interpola\u00e7\u00e3o.<\/p>\n Expandindo a equa\u00e7\u00e3o 9<\/a>, temos a seguinte express\u00e3o:<\/p>\n <\/a><\/p>\n (10) <\/span> <\/span> Essa express\u00e3o “aberta” nos ajudar\u00e1 na an\u00e1lise que se seguir\u00e1. Observando o gr\u00e1fico da figura acima vemos que no n\u00f3 a fun\u00e7\u00e3o de aproxima\u00e7\u00e3o (11) <\/span> <\/span> Note que para isso ocorrer \u00e9 necess\u00e1rio que<\/p>\n (12) <\/span> <\/span> Em palavras significa dizer que a fun\u00e7\u00e3o de interpola\u00e7\u00e3o do n\u00f3 Em diversas aplica\u00e7\u00f5es do M\u00e9todo dos Elementos Finitos s\u00e3o utilizadas fun\u00e7\u00f5es de interpola\u00e7\u00e3o lineares. Portanto, nos limitaremos a elas neste artigo. As equa\u00e7\u00f5es que reproduzem o que est\u00e1 exemplificado na imagem acima est\u00e3o apresentadas abaixo.<\/p>\n <\/a><\/p>\n (13) <\/span> <\/span> <\/a><\/p>\n (14) <\/span> <\/span> Vamos agora desvendar por completo o m\u00e9todo dos res\u00edduos ponderados <\/em>introduzido anteriormente. <\/em>J\u00e1 entendemos a pondera\u00e7\u00e3o, basta agora compreender a ideia de res\u00edduo. Temos discorrido bastante sobre a fun\u00e7\u00e3o <\/a><\/p>\n (15) <\/span> <\/span> Vamos agora exigir que esse erro seja zero. Mas n\u00e3o na formula\u00e7\u00e3o forte (sen\u00e3o ca\u00edmos no mesmo problema inicial), e sim na formula\u00e7\u00e3o fraca. Ent\u00e3o, relembrando o que desenvolvemos no t\u00f3pico onde discorremos sobre a obten\u00e7\u00e3o da formula\u00e7\u00e3o fraca, ter\u00edamos:<\/p>\n (16) <\/span> <\/span> Que pode ser escrita em termos da fun\u00e7\u00e3o de aproxima\u00e7\u00e3o simplesmente trocando (17) <\/span> <\/span> E, por analogia com o que j\u00e1 foi visto, sabemos que se desenvolvermos essa equa\u00e7\u00e3o chagaremos na forma fraca apresentada abaixo.<\/p>\n <\/a><\/p>\n (18) <\/span> <\/span> J\u00e1 definimos tamb\u00e9m que <\/a><\/p>\n (19) <\/span> <\/span> Falta-nos agora definir a fun\u00e7\u00e3o qualquer <\/a><\/p>\n (20) <\/span> <\/span> Enfim, podemos aplicar essas aproxima\u00e7\u00f5es para Com o esfor\u00e7o aplicado at\u00e9 aqui, temos a nossa proposta de solu\u00e7\u00e3o do problema no seguinte est\u00e1gio:<\/p>\n <\/a><\/p>\n (21) <\/span> <\/span> Onde<\/p>\n (22) <\/span> <\/span> Injetando as equa\u00e7\u00f5es das aproxima\u00e7\u00f5es dentro da formula\u00e7\u00e3o fraca (21<\/a>), vem:<\/p>\n <\/a><\/p>\n (23) <\/span> <\/span> Focando primeiro no lado esquerdo da equa\u00e7\u00e3o acima, aplicaremos a seguinte sequ\u00eancia de manipula\u00e7\u00e3o:<\/p>\n <\/a><\/p>\n (24) <\/span> <\/span> <\/a><\/p>\n (25) <\/span> <\/span> <\/a><\/p>\n (26) <\/span> <\/span> Vamos agora ao lado direito da equa\u00e7\u00e3o. Al\u00e9m de ser mais simples, com a experi\u00eancia obtida na manipula\u00e7\u00e3o do termo do lado esquerdo da equa\u00e7\u00e3o, sinto adequado apresentar diretamente o resultado final, evitando ser prolixo.<\/p>\n <\/a><\/p>\n (27) <\/span> <\/span> No geral, ent\u00e3o, temos at\u00e9 o momento:<\/p>\n <\/a><\/p>\n (28) <\/span> <\/span> Sinto necessidade nesse momento de record\u00e1-lo de que estamos buscando pelos valores dos coeficientes <\/a><\/p>\n (29) <\/span> <\/span> Bem melhor, n\u00e3o acha? Repare que o (30) <\/span> <\/span> Subtraindo os termos que se encontram no lado direito em toda a equa\u00e7\u00e3o e colocando os coeficientes (31) <\/span> <\/span> A solu\u00e7\u00e3o trivial onde todos os coeficientes s\u00e3o nulos n\u00e3o nos interessa, pois permitiria qualquer solu\u00e7\u00e3o para o problema. Ent\u00e3o, necessariamente os termos entre os par\u00eanteses devem ser nulos. Com isso, temos o seguinte sistema de (32) <\/span> <\/span> Em resumo, o sistema final de equa\u00e7\u00f5es do M\u00e9todo de Elementos Finitos para o problema ser\u00e1:<\/p>\n <\/a><\/p>\n (33) <\/span> <\/span> Onde<\/p>\n <\/a><\/p>\n (34) <\/span> <\/span> Temos Vamos agora p\u00f4r em pr\u00e1tica toda essa teoria aprendida.<\/p>\n Vamos resolver a seguinte equa\u00e7\u00e3o diferencial:<\/p>\n <\/a><\/p>\n (35) <\/span> <\/span> Como essa equa\u00e7\u00e3o \u00e9 similar \u00e0 equa\u00e7\u00e3o geral que foi utilizada nos t\u00f3picos anteriores, podemos obter a forma fraca do problema simplesmente substituindo <\/a><\/p>\n (36) <\/span> <\/span> O dom\u00ednio, nesse caso linear, ser\u00e1 dividido em 3 elementos finitos. Isso resultar\u00e1 em 4 n\u00f3s, enumerados conforme a figura a seguir.<\/p>\n <\/p>\n Para cada um dos n\u00f3s teremos uma fun\u00e7\u00e3o de interpola\u00e7\u00e3o. Elas ser\u00e3o, por escolha, lineares. Abaixo est\u00e3o apresentadas as equa\u00e7\u00f5es de interpola\u00e7\u00e3o de cada n\u00f3 e as respectivas representa\u00e7\u00f5es gr\u00e1ficas delas.<\/p>\n <\/a><\/p>\n (37) <\/span> <\/span> <\/p>\n <\/a><\/p>\n (38) <\/span> <\/span> <\/p>\n <\/a><\/p>\n (39) <\/span> <\/span> <\/p>\n <\/a><\/p>\n (40) <\/span> <\/span> <\/p>\n Repare que seguimos fielmente a regra das fun\u00e7\u00f5es de interpola\u00e7\u00e3o: ter valor 1 no n\u00f3 ao qual ela diz respeito e valer 0 nos demais n\u00f3s.<\/p>\n Construiremos o sistema alg\u00e9brico para este problema conforme a Equa\u00e7\u00e3o 33<\/a> j\u00e1 apresentada. Para isso, \u00e9 necess\u00e1rio calcular os valores de <\/a><\/p>\n (41) <\/span> <\/span> <\/p>\n <\/a><\/p>\n (42) <\/span> <\/span> <\/p>\nO que \u00e9 o M\u00e9todo dos Elementos Finitos e qual a sua utilidade<\/h2>\n
Primeiros passos no M\u00e9todo dos elementos Finitos<\/h2>\n
![\"\begin{gather*}](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b97fc63fa176349ac8d6134a8b585624_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"û(x)\"](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d74813b58d30dc6fd6691b452a355238_l3.png\" "\\"Rendered")
que aproxima a fun\u00e7\u00e3o ![\"u(x)\"](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a6e6981ae32636f4052c2e0899e6e7f2_l3.png\" "\\"Rendered")
.\u00a0 Abaixo ser\u00e3o apresentadas as etapas necess\u00e1rias para isso.<\/p>\nObten\u00e7\u00e3o da formula\u00e7\u00e3o fraca do problema<\/h3>\n
![\"\begin{equation*}](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-643e974763456c1dc1894a49fb4b210f_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"Gr\u00e1fico](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/hx-1-300x125.png\")
<\/p>\n![\"[x_{i}, x_{f}]\"](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4b61af07e6eb6d0e98a03bfe221125b9_l3.png\" "\\"Rendered")
fica \u00f3bvio que o fato de ser verdade que<\/p>\n![\"\begin{equation*}](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5a2515986fd719f0f2cf7364b66bcd8a_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"h(x) = 0\"](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-58daa16ffa5c0db516156b265fbc3324_l3.png\" "\\"Rendered")
em .<\/p>\n![\"\begin{equation*}](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-22c6ca0b1e0e994e19aaa18fcb0a3e43_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"w(x)\"](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1865e783a3bb6175f82eb4c13d72e1f7_l3.png\" "\\"Rendered")
de fun\u00e7\u00e3o de pondera\u00e7\u00e3o. Vamos, por conveni\u00eancia, considerar essa fun\u00e7\u00e3o de pondera\u00e7\u00e3o pertencente \u00e0 um espa\u00e7o vetorial equivalente ao espa\u00e7o vetorial da solu\u00e7\u00e3o do problema. O efeito pr\u00e1tico que usufruiremos dessa considera\u00e7\u00e3o \u00e9 que as condi\u00e7\u00f5es de contorno de ser\u00e3o as mesmas de .\u00a0 Aqui vem uma importante observa\u00e7\u00e3o para que o entendimento n\u00e3o se perca. A condi\u00e7\u00e3o de contorno essencial s\u00f3 ser\u00e1 introduzida na resolu\u00e7\u00e3o do sistema de equa\u00e7\u00f5es final, portanto, independente do seu valor, devemos consider\u00e1-la igual a zero (para este problema: ![\"u(x_{i})=0\"](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e0f09483305463843f68a33bda81f707_l3.png\" "\\"Rendered")
). Dito isto, vamos manipular a equa\u00e7\u00e3o 4<\/a>.<\/p>\n![\"\begin{equation*}](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2a07e4be8f66e9ac510bf06c4101adde_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"\begin{equation*}](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4764d82ac9a4ebe6bc6882687bcab289_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"\Gamma=[x_{i}, x_{f}]\"](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2f59b66ef01bc2950ea26306aa0b7d81_l3.png\" "\\"Rendered")
, podemos abrir o termo da esquerda, o que resulta em:<\/p>\n![\"\begin{equation*}](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6f7fbcae8db06947593a98cd5c9ab48f_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"\frac{du}{dx}(x_{f})\"](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d3f1569de3e0997b428b689d48073272_l3.png\" "\\"Rendered")
da formula\u00e7\u00e3o forte do problema. O fato dela surgir naturalmente no desenvolvimento da forma fraca do problema concede a ela o nome que j\u00e1 conhecemos l\u00e1 no in\u00edcio – condi\u00e7\u00e3o de contorno natural. Podemos substitu\u00ed-la na equa\u00e7\u00e3o 7<\/a> por ![\"\alpha\"](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8f0b6b1a01f8fcc2f95be0364c090397_l3.png\" "\\"Rendered")
, bem como podemos substituir ![\"w(x_{i})\"](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-889493f3a538628bbe7e3f3aa6582845_l3.png\" "\\"Rendered")
por ![\"u(x_{i})\"](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4d0c7ea1db12d6df9522bc0f73570e64_l3.png\" "\\"Rendered")
, que (aten\u00e7\u00e3o!) ser\u00e1 zero, pois o valor de fato (![\"\={u}\"](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-57ddd417c730ed71a3ebd074ce1cae49_l3.png\" "\\"Rendered")
) ser\u00e1 considerado na equa\u00e7\u00e3o final conforme j\u00e1 discutimos. Com isso, e reorganizando a equa\u00e7\u00e3o, apresento a forma fraca do nosso problema.<\/p>\n![\"\begin{equation*}](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ef5e2efe37d32f5c8e2f4ab07b4b9c96_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\nAproxima\u00e7\u00e3o por elementos finitos<\/h3>\n
![\"n-1\"](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f30b71e7fcec69d119f30f67cf09c975_l3.png\" "\\"Rendered")
elementos finitos e, consequentemente, ![\"n\"](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b170995d512c659d8668b4e42e1fef6b_l3.png\" "\\"Rendered")
pontos nodais.<\/p>\n![\"Dom\u00ednio](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/Dominio-discretizado-em-n-elementos-1-1-300x56.png\")
<\/p>\n![\"u_{j}\"](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2be640c9223de321a12ff58520a2ae93_l3.png\" "\\"Rendered")
) para cada um dos n\u00f3s resultantes da discretiza\u00e7\u00e3o do dom\u00ednio e, posteriormente, interpol\u00e1-los ao longo de todo o dom\u00ednio utilizando fun\u00e7\u00f5es de interpola\u00e7\u00e3o (![\"N_{j}(x)\"](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5cf5df996de2d1854fe0da03b8f49ca1_l3.png\" "\\"Rendered")
).<\/p>\n![\"Coeficientes](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/Coeficientes-uj-1-300x126.png\")
<\/p>\n fica da seguinte forma:<\/p>\n![\"\begin{equation*}](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-831947428a8254182096539cfbe55ea0_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\nDefini\u00e7\u00e3o das fun\u00e7\u00f5es de interpola\u00e7\u00e3o<\/h3>\n
![\"\begin{equation*}](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d6be8b67dd26f6871cb1bf8ee8ae16a6_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n \u00e9 igual \u00e0 constante ![\"u\"](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-43fe27dc3e528266a619764d90fce60b_l3.png\" "\\"Rendered")
associada \u00e0quele n\u00f3.<\/p>\n![\"\begin{gather*}](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-334aa38ad3a6a72230c918fa59af2cb6_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"\begin{gather*}](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d086a99c5d90e172df97c26e3742cce9_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"j\"](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-43c82d5bb00a7568d935a12e3bd969dd_l3.png\" "\\"Rendered")
(![\"N_{j}\"](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0628be29b57657b68968c59ed6734305_l3.png\" "\\"Rendered")
) valer\u00e1 1 no n\u00f3 e zero nos demais n\u00f3s. Simples, n\u00e3o? Vejamos um exemplo: a fun\u00e7\u00e3o de interpola\u00e7\u00e3o linear para o n\u00f3 2.<\/p>\n![\"Exemplo](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/exemplo-funcao-de-interpolacao-linear-1-300x97.png\")
<\/p>\n![\"\begin{equation*}](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-78ccbe85d1617f6770d56cbd12bb34e2_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"\begin{equation*}](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e36239192fc94768d47409c7f66934ee_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\nAplicando a ideia central do M\u00e9todo dos Elementos Finitos<\/h3>\n
que se prop\u00f5e a aproximar a solu\u00e7\u00e3o do nosso problema. Vamos agora us\u00e1-la na formula\u00e7\u00e3o forte do problema (Equa\u00e7\u00e3o 1<\/a>). Considerando que ela n\u00e3o \u00e9 exatamente a fun\u00e7\u00e3o (digo considerando<\/em>, pois em alguns casos a solu\u00e7\u00e3o aproximada pode ser igual\u00a0 \u00e0 solu\u00e7\u00e3o exata), no lado direito da equa\u00e7\u00e3o surgir\u00e1 um valor diferente de zero. Esse valor, representado por ![\"R\"](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dae6bae3dcdac4629730754352c5e329_l3.png\" "\\"Rendered")
, \u00e9 chamado de res\u00edduo. Temos a seguinte equa\u00e7\u00e3o ent\u00e3o:<\/p>\n![\"\begin{equation*}](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1ee944a5a1ee4adf7660c121466e91ec_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"\begin{equation*}](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-977ad094d5131e620d60da6a4dd060a7_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"R(x)\"](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e87f6dc71fae04d11b590951595cd80a_l3.png\" "\\"Rendered")
pelo lado esquerdo da equa\u00e7\u00e3o 15<\/a>.<\/p>\n![\"\begin{equation*}](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8e72d8692118ae50d8e0e0a5b00f95b6_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"\begin{equation*}](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f5aba874e9093b7ee6851a74d3e1bd26_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n pode ser aproximado por:<\/p>\n![\"\begin{equation*}](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-580f8f03414a8ed653ce6d2fdf7e32e7_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n para prosseguirmos com o desenvolvimento do problema. Seguindo o mesmo princ\u00edpio utilizado para a fun\u00e7\u00e3o objetivo (), vamos utilizar uma aproxima\u00e7\u00e3o para a fun\u00e7\u00e3o peso. Al\u00e9m disso, nos apropriando de um m\u00e9todo largamente conhecido criado por Galerkin, e nomeado com seu pr\u00f3prio nome (M\u00e9todo de Galerkin), vamos fazer a aproxima\u00e7\u00e3o da fun\u00e7\u00e3o peso com as mesmas fun\u00e7\u00f5es de interpola\u00e7\u00e3o utilizadas para aproximar a fun\u00e7\u00e3o . Dessa forma, temos:<\/p>\n![\"\begin{equation*}](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ca45af8e488a4fb2c1a9637ada1ab217_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n e ![\"\^w(x)\"](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0ca4a700fdf16a63add34359b025b795_l3.png\" "\\"Rendered")
na formula\u00e7\u00e3o fraca e prosseguir o desenvolvimento da solu\u00e7\u00e3o aproximada com elementos finitos.<\/p>\nFormula\u00e7\u00e3o discreta do problema<\/h3>\n
![\"\begin{equation*}](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c2070723561f2e2502d5921bfd8afb92_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"\begin{gather*}](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-334a7e30ccb920b21ea7c3409f68ec31_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"\begin{equation*}](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3dd604e3af4247adc5e9ee231e23378b_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n\n
![\"\begin{equation*}](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-82a8e973d8f07ca5e77e7be4e6ad10af_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n\n
e ![\"w_{i}\"](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4bb422554ce7070ee57d327ac4bac198_l3.png\" "\\"Rendered")
s\u00e3o constantes, eles podem sair da derivada.<\/li>\n<\/ul>\n![\"\begin{equation*}](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e59e2ed4b7f3f89dc4eb641b4587e289_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n\n
![\"\begin{equation*}](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-738ef678709de6398b54459df3ee647e_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"\begin{equation*}](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0e17d4b726bda3e12899cefe99182780_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"\begin{equation*}](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cdee3066292d8ccecbdccf17d4fdcb6a_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n (que s\u00e3o as aproxima\u00e7\u00f5es para nos n\u00f3s) para, ent\u00e3o, obtermos a aproxima\u00e7\u00e3o por elementos finitos fazendo ![\"\sum_{j=1}^{n}N_{j}u_{j}\"](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dc0fcd8b3d74c4f286fba9c99bd83282_l3.png\" "\\"Rendered")
. Devo lembr\u00e1-lo tamb\u00e9m de que e ![\"N_{i}(x)\"](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fb7dacda6d48deb86059b109943fc2ed_l3.png\" "\\"Rendered")
s\u00e3o as fun\u00e7\u00f5es de interpola\u00e7\u00e3o que n\u00f3s devemos escolher, logo n\u00e3o s\u00e3o inc\u00f3gnitas. ![\"f(x)\"](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a7ee323bc5a3f73ad5e066b13bed5504_l3.png\" "\\"Rendered")
e ![\"g\"](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d208fd391fa57c168dc0f151de829fee_l3.png\" "\\"Rendered")
s\u00e3o dados do problema e s\u00e3o coeficientes de pondera\u00e7\u00e3o arbitr\u00e1rios. Em resumo, as inc\u00f3gnitas do problema acima s\u00e3o os coeficientes . Com isso esclarecido, simplificaremos a representa\u00e7\u00e3o dos termos que n\u00e3o s\u00e3o inc\u00f3gnitas que se encontram dentro dos par\u00eanteses substituindo-os pelas letras ![\"k\"](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3422b6bb5c160593658b7c39425d9880_l3.png\" "\\"Rendered")
e ![\"f\"](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9c09a708375fde2676da319bcdfe8b24_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/p>\n![\"\begin{equation*}](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2baedcde5246a79b3a9cc03575249306_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n recebe tanto o \u00edndice ![\"i\"](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-695d9d59bd04859c6c99e7feb11daab6_l3.png\" "\\"Rendered")
quanto o \u00edndice dado que o termo que ele representa depende dos dois \u00edndices. Vamos agora “abrir” esses somat\u00f3rios. Pelo motivo que ser\u00e1 desvendado mais adiante, farei isso em um formato especial como segue.<\/p>\n![\"\begin{gather*}](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fc6cb448d9417bbd3a0f3ff2e41b9c57_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n em evid\u00eancia, temos:<\/p>\n![\"\begin{gather*}](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-243b06aeae010fa84984f8e8affe9832_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n equa\u00e7\u00f5es.<\/p>\n![\"\begin{equation*}](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-07deb2ccae534e14fc8e580695cfe46f_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"\begin{equation*}](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d2209959550df5d2404e8ac5549b8161_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"\begin{gather*}](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-906a374bd25097b578324ee375019a6f_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n equa\u00e7\u00f5es para inc\u00f3gnitas. Mas essas equa\u00e7\u00f5es s\u00e3o linearmente independentes? A resposta \u00e9: nem todas. No caso desse problema duas das equa\u00e7\u00f5es s\u00e3o LD entre si. Mas n\u00e3o h\u00e1 motivo para preocupa\u00e7\u00e3o, pois na verdade n\u00e3o temos inc\u00f3gnitas e sim . O valor do coeficiente em ![\"x_{i}\"](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ad1596ad08a97b74d62d11f0964916fd_l3.png\" "\\"Rendered")
\u00e9 igual a . Essa \u00e9 a condi\u00e7\u00e3o de contorno essencial do nosso problema (ali\u00e1s, por isso que ela recebe esse nome). Com o n\u00famero de inc\u00f3gnitas reduzido em 1, \u00e9 aceit\u00e1vel que duas das equa\u00e7\u00f5es sejam LD entre si sem preju\u00edzo \u00e0 resolu\u00e7\u00e3o do sistema.<\/p>\nResolu\u00e7\u00e3o de uma equa\u00e7\u00e3o diferencial utilizando o M\u00e9todo dos Elementos Finitos<\/h2>\n
![\"\begin{gather*}](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-db3128b552734c7792d0477b53b46918_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\nObten\u00e7\u00e3o da forma fraca do problema<\/h3>\n
, e ![\"\Gamma\"](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4f420945e64069f30b66c3d17e2f98ac_l3.png\" "\\"Rendered")
da equa\u00e7\u00e3o 8<\/a> pelos valores deste problema.<\/p>\n![\"\begin{equation*}](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-04154199c057981667b7451e91910b90_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\nDiscretiza\u00e7\u00e3o do dom\u00ednio em elementos finitos<\/h3>\n
![\"Discretiza\u00e7\u00e3o](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/Ex1-discretizacao-300x95.png\")
<\/p>\nDefini\u00e7\u00e3o das fun\u00e7\u00f5es de interpola\u00e7\u00e3o<\/h3>\n
![\"\begin{equation*}](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b31cd68534abbb9f26863a8e6259391d_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"Fun\u00e7\u00e3o](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/Ex1-Funcao-de-interpolacao-1-300x156.png\")
<\/p>\n![\"\begin{equation*}](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3ca9caf9e685c2577b0f9d7df2f93361_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"Fun\u00e7\u00e3o](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/Ex1-Funcao-de-interpolacao-2-300x159.png\")
<\/p>\n![\"\begin{equation*}](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-096db41aef2e22c1f9700d6368a83e94_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"Fun\u00e7\u00e3o](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/Ex1-Funcao-de-interpolacao-3-300x154.png\")
<\/p>\n![\"\begin{equation*}](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bcce44b4c610243dc78b4426ecd5b09d_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"Fun\u00e7\u00e3o](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/Ex1-Funcao-de-interpolacao-4-300x154.png\")
<\/p>\nMontagem do sistema alg\u00e9brico de elementos finitos<\/h3>\n
![\"k_{ij}\"](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b4a5243a9cd49a16727491a9a3ef930a_l3.png\" "\\"Rendered")
e ![\"f_{i}\"](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-40bfe09f34d89df3e344bfbaaf73d8ef_l3.png\" "\\"Rendered")
. Como o problema que estamos resolvendo \u00e9 similar ao problema considerado no desenvolvimento te\u00f3rico, esses valores podem ser obtidos pelas express\u00f5es da Equa\u00e7\u00e3o 34<\/a>, substituindo apenas os valores de e . Temos, ent\u00e3o, a seguinte sequ\u00eancia de c\u00e1lculos:<\/p>\n![\"\begin{equation*}](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1e72bb36516930322b0a486fb2a83d9d_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"\begin{equation*}](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a19b0049f8361a580a1c9c5adcd81f81_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n
![\"\begin{equation*}](\"https:\/\/oengenheirovirtual.com.br\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e9019eb1f95475c118e2b1c52bce6506_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n